Quizz : Formes quadratiques définies positives

Critères de Définie Positivité

Une forme quadratique $q$ est définie positive si, pour tout vecteur non nul $\mathbf{x}$, $q(\mathbf{x}) > 0$. C’est une propriété cruciale qui a plusieurs critères équivalents pour la matrice symétrique associée $A$.

1. La forme quadratique $q(\mathbf{x})$ est définie positive si :

$q(\mathbf{x}) \ge 0$ pour tout $\mathbf{x}$. $q(\mathbf{x}) = 0$ seulement pour $\mathbf{x} = \mathbf{0}$. $q(\mathbf{x}) > 0$ pour tout $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$. La matrice associée $A$ est inversible.

2. Une forme quadratique sur $\mathbb{R}^n$ est définie positive si et seulement si sa signature $(n_+, n_-, n_0)$ est :

$(n, 0, 0)$ $(n-1, 1, 0)$ $(n, 0, 1)$ $(0, n, 0)$

3. Si $A$ est la matrice symétrique associée, $q$ est définie positive si et seulement si :

Toutes les valeurs propres de $A$ sont positives ou nulles ($\lambda_i \ge 0$). Le déterminant de $A$ est positif ($\det(A) > 0$). Toutes les valeurs propres de $A$ sont strictement positives ($\lambda_i > 0$). La matrice $A$ est l’identité.

4. Le critère des mineurs principaux de Sylvester stipule que $q$ est définie positive si et seulement si :

Tous les mineurs principaux sont non nuls. Tous les mineurs principaux sont strictement positifs. Les mineurs principaux alternent de signe, en commençant par le signe moins. Seul le déterminant de $A$ est positif.

5. Si $q$ est définie positive, la matrice symétrique $A$ associée est toujours :

Inversible. Nilpotente. Antisymétrique. Non dégénérée, mais non inversible.

6. Si $q(\mathbf{x}) < 0$ pour tout $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$, la forme quadratique est dite :

Indéfinie. Définie négative. Semi-définie positive. Semi-définie négative.

7. Une forme quadratique $q$ est définie positive si et seulement si la forme bilinéaire symétrique $f$ associée est un :

Produit vectoriel. Produit matriciel. Produit scalaire. Polynôme caractéristique.

8. Si $q(\mathbf{x})$ est équivalente à $L_1^2 + 2L_2^2 – 3L_3^2$ (signature $(2, 1, 0)$), $q$ est-elle définie positive ?

Oui Non

9. Vrai ou Faux : Si $q$ est définie positive, alors l’application $\mathbf{x} \mapsto \sqrt{q(\mathbf{x})}$ définit une norme sur l’espace vectoriel.

Vrai Faux

10. Si $A$ est la matrice associée, pour que $q$ soit définie négative, il faut que :

Le déterminant de $A$ soit négatif. Les mineurs principaux alternent de signe, en commençant par le signe moins. Tous les mineurs principaux soient strictement négatifs. La signature soit $(n_+, n_-, n_0) = (0, n, 0)$.

Quiz : Formes quadratiques définies positives

Critères de Définie Positivité

Conclusion