Test : Qu’est-ce qu’un espace hermitien ?

1. Un espace hermitien est un espace vectoriel sur le corps :

$\mathbb{R}$ (Nombres réels) $\mathbb{C}$ (Nombres complexes) $\mathbb{Q}$ (Nombres rationnels) Uniquement des matrices

2. La propriété de symétrie dans un produit scalaire hermitien est la symétrie conjuguée, qui s’écrit :

$\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle$ $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 0$ $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \overline{\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle}$ $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = -\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle$

3. Le produit scalaire hermitien est linéaire par rapport à la première variable $\mathbf{u}$. Cela signifie que $\langle \alpha \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle$ est égal à :

$\alpha \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle$ $\overline{\alpha} \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle$ $\alpha^2 \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle$ $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle$

4. Le produit scalaire hermitien est anti-linéaire (ou semi-linéaire) par rapport à la deuxième variable $\mathbf{v}$. Cela signifie que $\langle \mathbf{u}, \alpha \mathbf{v} \rangle$ est égal à :

$\alpha \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle$ $\overline{\alpha} \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle$ $\alpha^2 \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle$ $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle$

5. Quel doit être le signe du résultat $\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle$ pour $\mathbf{u} \neq \mathbf{0}$ ?

Il doit être un nombre complexe non réel. Il doit être un nombre réel strictement positif. Il doit être nul. Il peut être négatif.

6. Une matrice $H$ est hermitienne si elle est associée à la forme sesquilinéaire, et vérifie la relation :

$H = H^T$ $H = \overline{H}$ $H = H^*$ (où $H^* = \overline{H}^T$) $H = H^{-1}$

7. Les valeurs propres d’une matrice hermitienne sont toujours :

Complexes pures (imaginaires). Réelles. Nulles ou égales à 1. Sur le cercle unité ($|\lambda|=1$).

8. Deux vecteurs $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ sont orthogonaux dans un espace hermitien si :

$\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \overline{1}$ $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 0$ $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle$ $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ sont conjugués.

9. Vrai ou Faux : Tout espace euclidien est un cas particulier d’espace hermitien (où tous les scalaires sont réels).

Vrai Faux

10. Quel est l’analogue complexe de la matrice orthogonale (qui vérifie $Q^T Q = I$) dans un espace hermitien ?

Matrice Symétrique Matrice Hermitienne Matrice Unitaire ($U^* U = I$) Matrice Normale

Quiz : Qu’est-ce qu’un espace hermitien ?

L’Analogue Complexe de l’Espace Euclidien

Conclusion