Quizz : Formes sesquilinéaires et hermitiennes

1. Sur quel corps de base les formes sesquilinéaires sont-elles définies ?

$\mathbb{R}$ (Nombres réels) $\mathbb{C}$ (Nombres complexes) $\mathbb{Q}$ (Nombres rationnels) Uniquement des matrices

2. Une forme sesquilinéaire $f$ est hermitienne si elle vérifie la symétrie conjuguée, qui s’écrit $f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) =$ :

$f(\mathbf{v}, \mathbf{u})$ $0$ $\overline{f(\mathbf{v}, \mathbf{u})}$ $-f(\mathbf{v}, \mathbf{u})$

3. La sesquilinéarité implique que $f(\alpha \mathbf{u}, \mathbf{v})$ est égal à :

$\alpha f(\mathbf{u}, \mathbf{v})$ $\overline{\alpha} f(\mathbf{u}, \mathbf{v})$ $\alpha^2 f(\mathbf{u}, \mathbf{v})$ $f(\mathbf{u}, \mathbf{v})$

4. La sesquilinéarité implique que $f(\mathbf{u}, \alpha \mathbf{v})$ est égal à :

$\alpha f(\mathbf{u}, \mathbf{v})$ $\overline{\alpha} f(\mathbf{u}, \mathbf{v})$ $\alpha^2 f(\mathbf{u}, \mathbf{v})$ $f(\mathbf{u}, \mathbf{v})$

5. Si une forme hermitienne $f$ est définie positive, le résultat $f(\mathbf{u}, \mathbf{u})$ pour $\mathbf{u} \neq \mathbf{0}$ doit être :

Un nombre complexe non réel. Un nombre réel strictement positif. Nul (forme alternée). Réel négatif.

6. La matrice $H$ associée à une forme hermitienne (produit scalaire) vérifie la relation :

$H = H^T$ (Matrice symétrique) $H = \overline{H}$ $H = H^*$ (Matrice hermitienne) $H = H^{-1}$ (Matrice unitaire)

7. Les valeurs propres d’une matrice hermitienne $H$ (matrice d’une forme hermitienne) sont toujours :

Complexes pures (imaginaires). Réelles. Nulles ou égales à 1. Sur le cercle unité ($|\lambda|=1$).

8. Deux vecteurs $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ sont orthogonaux par rapport à une forme hermitienne $f$ si :

$f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \overline{1}$ $f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = 0$ $f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = f(\mathbf{v}, \mathbf{u})$ $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ sont conjugués.

9. Vrai ou Faux : Une forme bilinéaire symétrique réelle est un cas particulier de forme hermitienne.

Vrai Faux

10. La forme quadratique associée à une forme hermitienne $f$ est la fonction $\mathbf{x} \mapsto f(\mathbf{x}, \mathbf{x})$. Cette forme :

Est toujours à valeurs complexes non nulles. Est toujours à valeurs réelles. Est un produit vectoriel. Vérifie la relation $f(\mathbf{x}, \mathbf{x}) = f(\mathbf{x}, -\mathbf{x})$.

Quiz : Formes sesquilinéaires et hermitiennes

Propriétés des Formes Complexes

Conclusion