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Exercices : Introduction aux Nombres Rationnels
2ème Année Collège – Programme Marocain (AC)
Simplifiez au maximum les nombres rationnels suivants :
$$A = \frac{18}{27} \quad B = \frac{-45}{75} \quad C = \frac{14 \times 3}{21 \times 2}$$
Complétez les égalités suivantes :
$$ \frac{4}{7} = \frac{\dots}{21} \quad ; \quad \frac{-5}{8} = \frac{25}{\dots} \quad ; \quad \frac{16}{-12} = \frac{\dots}{-3} $$
Placez les points $A(\frac{1}{3})$, $B(-\frac{2}{3})$ et $C(\frac{5}{3})$ sur la droite graduée ci-dessous.
Comparez les paires de nombres rationnels suivantes (utilisez <, > ou = ) :
$$ \frac{7}{5} \dots \frac{9}{5} \quad ; \quad \frac{-3}{4} \dots \frac{-1}{4} \quad ; \quad \frac{1}{2} \dots \frac{2}{4} $$
Calculez et donnez le résultat sous forme simplifiée :
$$ D = \frac{2}{9} + \frac{5}{9} \quad ; \quad E = \frac{11}{13} – \frac{4}{13} \quad ; \quad F = \frac{-1}{7} + \frac{-3}{7} $$
Réduisez les fractions $\frac{2}{3}$ et $\frac{5}{6}$ au même dénominateur, puis effectuez l’addition.
Calculez et simplifiez les expressions suivantes :
$$ G = \frac{3}{5} + \frac{1}{10} \quad ; \quad H = \frac{7}{8} – \frac{1}{4} $$
Utilisez le produit en croix pour vérifier si les fractions sont égales :
$$ \text{a) } \frac{5}{6} \text{ et } \frac{15}{18} \quad ; \quad \text{b) } \frac{-2}{3} \text{ et } \frac{4}{-9} $$
Calculez les produits suivants et simplifiez le résultat :
$$ I = \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} \quad ; \quad J = -2 \times \frac{5}{6} $$
Donnez l’inverse des nombres suivants :
$$ \frac{4}{9} \quad ; \quad -7 \quad ; \quad \frac{-1}{5} \quad ; \quad \frac{1}{8} $$
Calculez les quotients suivants et simplifiez le résultat :
$$ K = \frac{2}{3} \div \frac{4}{5} \quad ; \quad L = \frac{-6}{7} \div 3 $$
Calculez l’expression :
$$ M = \frac{1}{2} – \left( \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} \right) $$
Remplissez le tableau en comparant la fraction à 1.
| Fraction | $\frac{11}{10}$ | $\frac{4}{4}$ | $\frac{7}{9}$ | $\frac{15}{3}$ |
|---|---|---|---|---|
| Comparaison à 1 | > 1 |
Encadrez les nombres rationnels suivants par deux nombres entiers consécutifs :
$$ \dots < \frac{17}{5} < \dots \quad ; \quad \dots < \frac{-9}{4} < \dots $$
Un gâteau est partagé en 12 parts égales. Samira en mange $\frac{1}{4}$ et Ali en mange $\frac{1}{3}$. Quelle fraction du gâteau a été mangée au total ?
Corrigés des exercices
$$A = \frac{18}{27} = \frac{9 \times 2}{9 \times 3} = \mathbf{\frac{2}{3}}$$
$$B = \frac{-45}{75} = \frac{-15 \times 3}{15 \times 5} = \mathbf{-\frac{3}{5}}$$
$$C = \frac{14 \times 3}{21 \times 2} = \frac{(7 \times 2) \times 3}{(7 \times 3) \times 2} = \mathbf{1}$$
$$ \frac{4}{7} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{\mathbf{12}}{21} $$
$$ \frac{-5}{8} = \frac{-5 \times (-5)}{8 \times (-5)} = \frac{25}{\mathbf{-40}} $$
$$ \frac{16}{-12} = \frac{16 \div 4}{-12 \div 4} = \frac{\mathbf{4}}{-3} $$
L’unité est divisée en 3 parties. A est à 1 division après 0, B est à 2 divisions avant 0, C est à 5 divisions après 0. (Voir figure dans le Canvas).
$$ \frac{7}{5} < \frac{9}{5} \quad \text{(Même dénominateur, on compare les numérateurs)} $$
$$ \frac{-3}{4} < \frac{-1}{4} \quad \text{(Même dénominateur, -3 est plus petit que -1)} $$
$$ \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \quad \text{(Car } 1 \times 4 = 2 \times 2 \text{ ou } \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \text{)} $$
$$ D = \frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{2+5}{9} = \mathbf{\frac{7}{9}} $$
$$ E = \frac{11}{13} – \frac{4}{13} = \frac{11-4}{13} = \mathbf{\frac{7}{13}} $$
$$ F = \frac{-1}{7} + \frac{-3}{7} = \frac{-1 + (-3)}{7} = \mathbf{\frac{-4}{7}} $$
Le dénominateur commun est 6. $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$.
Addition : $\frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{4+5}{6} = \frac{9}{6}$.
Simplification : $\frac{9}{6} = \frac{3 \times 3}{3 \times 2} = \mathbf{\frac{3}{2}}$
$$ G = \frac{3}{5} + \frac{1}{10} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} + \frac{1}{10} = \frac{6}{10} + \frac{1}{10} = \frac{7}{10} $$
$$ H = \frac{7}{8} – \frac{1}{4} = \frac{7}{8} – \frac{1 \times 2}{4 \times 2} = \frac{7}{8} – \frac{2}{8} = \frac{5}{8} $$
a) $\frac{5}{6}$ et $\frac{15}{18}$. Produit en croix : $5 \times 18 = 90$ et $6 \times 15 = 90$. Puisque $90 = 90$, alors $\mathbf{\frac{5}{6} = \frac{15}{18}}$.
b) $\frac{-2}{3}$ et $\frac{4}{-9}$. Produit en croix : $(-2) \times (-9) = 18$ et $3 \times 4 = 12$. Puisque $18 \neq 12$, alors $\mathbf{\frac{-2}{3} \neq \frac{4}{-9}}$.
$$ I = \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{3 \times 8}{4 \times 9} = \frac{3 \times (4 \times 2)}{4 \times (3 \times 3)} = \frac{2}{3} $$
$$ J = -2 \times \frac{5}{6} = \frac{-2 \times 5}{6} = \frac{-10}{6} = \mathbf{-\frac{5}{3}} $$
Inverse de $\frac{4}{9}$ est $\mathbf{\frac{9}{4}}$.
Inverse de $-7$ est $\mathbf{\frac{1}{-7}} \text{ ou } \mathbf{-\frac{1}{7}}$.
Inverse de $\frac{-1}{5}$ est $\mathbf{-5}$.
Inverse de $\frac{1}{8}$ est $\mathbf{8}$.
$$ K = \frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \mathbf{\frac{5}{6}} $$
$$ L = \frac{-6}{7} \div 3 = \frac{-6}{7} \times \frac{1}{3} = \frac{-6}{21} = \mathbf{-\frac{2}{7}} $$
$$ M = \frac{1}{2} – \left( \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} \right) = \frac{1}{2} – \frac{3}{12} $$
Simplifions $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
$$ M = \frac{1}{2} – \frac{1}{4} = \frac{2}{4} – \frac{1}{4} = \mathbf{\frac{1}{4}} $$
On compare le numérateur et le dénominateur :
| Fraction | $\frac{11}{10}$ | $\frac{4}{4}$ | $\frac{7}{9}$ | $\frac{15}{3}$ |
|---|---|---|---|---|
| Comparaison à 1 | > 1 | = 1 | < 1 | > 1 |
Pour $\frac{17}{5}$ : $17 \div 5 = 3,4$. Donc $\mathbf{3 < \frac{17}{5} < 4}$.
Pour $\frac{-9}{4}$ : $-9 \div 4 = -2,25$. Donc $\mathbf{-3 < \frac{-9}{4} < -2}$.
Fraction mangée = $\frac{1}{4} + \frac{1}{3}$. Dénominateur commun 12.
$$ \frac{1 \times 3}{4 \times 3} + \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \mathbf{\frac{7}{12}} $$
Au total, $\frac{7}{12}$ du gâteau a été mangée.