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Exercices Corrigés : Symétrie Axiale
2ème Année Collège (2 AC – Programme Maroc)
Construire le point \(A’\), symétrique du point \(A\) par rapport à la droite \((D)\).
Construire le segment \([A’B’]\), symétrique du segment \([AB]\) par rapport à la droite \((D)\).
Construire la droite \((D’)\), symétrique de la droite \((D)\) par rapport à l’axe \(\Delta\).
Construire le triangle \(A’B’C’\), symétrique du triangle \(ABC\) par rapport à l’axe \((D)\).
Construire le cercle \(\mathcal{C}’\), symétrique du cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\), par rapport à la droite \((D)\).
Si \(A’\) et \(B’\) sont les symétriques de \(A\) et \(B\) par rapport à une droite, et que \(AB = 5\) cm, que vaut \(A’B’\) ?
Si l’angle \(\widehat{ABC} = 70^\circ\), que vaut l’angle \(\widehat{A’B’C’}\), sachant que \(A’, B’, C’\) sont les symétriques de \(A, B, C\)?
Les points \(A, B, C\) sont alignés. Leurs symétriques \(A’, B’, C’\) le sont-ils ? Justifier.
Combien d’axes de symétrie possède un rectangle ? Dessiner-les.
Combien d’axes de symétrie possède un triangle équilatéral ?
La droite \((D)\) est l’axe de symétrie du segment \([AB]\). Que peut-on dire de \((D)\) par rapport à \([AB]\)?
Dans un triangle isocèle \(EFG\) de base \([FG]\), la médiane issue de \(E\) est-elle un axe de symétrie ?
Où doit se situer un point \(M\) pour être son propre symétrique par rapport à l’axe \((D)\)?
Soit \(I\) le milieu du segment \([AB]\). \(I’\) est le symétrique de \(I\). \(A’\) et \(B’\) sont les symétriques de \(A\) et \(B\). Que représente \(I’\) pour le segment \([A’B’]\)? Justifier.
Quelles sont les droites qui servent d’axes de symétrie à un losange \(ABCD\) ?
Corrigés des exercices
Le point \(A’\) est tel que la droite \((D)\) est la médiatrice du segment \([AA’]\). Le segment \([AA’]\) est perpendiculaire à \((D)\) et son milieu appartient à \((D)\).
Le segment \([A’B’]\) est construit en trouvant les symétriques \(A’\) et \(B’\) de \(A\) et \(B\) par rapport à \((D)\), puis en les reliant.
La symétrie axiale conserve les longueurs, donc \(AB = A’B’\).
Si la droite \((D)\) coupe l’axe \(\Delta\) en un point \(I\), alors la droite symétrique \((D’)\) passe par \(I\).
Si \((D)\) est parallèle à \(\Delta\), \((D’)\) est aussi parallèle à \(\Delta\).
Le triangle \(A’B’C’\) est construit en trouvant les symétriques \(A’, B’\) et \(C’\) des sommets \(A, B, C\). Il est isométrique (même forme, mêmes dimensions) à \(ABC\).
Le cercle \(\mathcal{C}’\) a pour centre \(O’\), symétrique de \(O\), et a le même rayon \(r\).
La symétrie axiale conserve les distances. Donc :
La symétrie axiale conserve la mesure des angles. Donc :
Oui, la symétrie axiale conserve l’alignement. Si \(A, B, C\) sont alignés, alors leurs symétriques \(A’, B’, C’\) sont également alignés.
Un rectangle possède 2 axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés.
(Voir figure de l’exercice 9).
Un triangle équilatéral possède 3 axes de symétrie : ses trois médiatrices (qui sont aussi ses hauteurs et médianes).
La droite \((D)\) est la médiatrice du segment \([AB]\). Elle est perpendiculaire à \([AB]\) et passe par son milieu.
Oui. Dans un triangle isocèle, la médiane relative à la base est aussi la médiatrice et la hauteur. Elle est donc un axe de symétrie du triangle.
Un point est son propre symétrique si et seulement s’il appartient à l’axe de symétrie \((D)\).
La symétrie axiale conserve le milieu. Donc, \(I’\) est le milieu du segment \([A’B’]\).
Un losange possède 2 axes de symétrie : ses deux diagonales.
Si le losange est un carré, il possède 4 axes.