Exercices : Triangles et Droites Parallèles

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Exercices Corrigés : Triangles et Droites Parallèles

2ème Année Collège (2 AC – Programme Maroc)

Nom et Prénom : …………………………………………………… Classe : …………

Exercice 1 : Théorème des milieux (Longueur)

Dans le triangle \(ABC\), \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(J\) est le milieu de \([AC]\). Si \(BC = 10\) cm, quelle est la longueur de \([IJ]\)?

Exercice 2 : Théorème des milieux (Parallélisme)

Dans le triangle \(ABC\), \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(J\) est le milieu de \([AC]\). Que peut-on dire des droites \((IJ)\) et \((BC)\)?

Exercice 3 : Droite des milieux (Réciproque)

Dans le triangle \(EFG\), \(M\) est le milieu de \([EF]\). La droite passant par \(M\) et parallèle à \((FG)\) coupe \([EG]\) en \(N\). Que représente \(N\)?

Exercice 4 : Calcul de longueur par le théorème des milieux

Dans le triangle \(RST\), \(A\) est le milieu de \([RS]\) et \(B\) est le milieu de \([RT]\). Si \(AB = 4.5\) cm, calculer \(ST\).

Exercice 5 : Thalès direct (forme simple)

Dans le triangle \(OAB\), \(M \in [OA]\) et \(N \in [OB]\). Si \((MN) // (AB)\), \(OM=2\), \(MA=4\), \(OB=9\). Calculer \(ON\).

Exercice 6 : Thalès pour deux longueurs

Dans la figure précédente (Exo 5), si \(MN=3\), calculer \(AB\).

Exercice 7 : Identification de Thalès (cas Papillon)

Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles et se coupent en \(O\). \(OA=6\), \(OC=3\), \(OB=8\). Calculer \(OD\).

Exercice 8 : Utilisation des droites parallèles

Dans un triangle \(ABC\), on trace la hauteur \([AH]\). Si la droite \((D)\) est parallèle à \((BC)\) et passe par \(A\), que peut-on dire de \((AH)\) et \((D)\)?

Exercice 9 : Vérification de parallélisme (Réciproque)

Dans le triangle \(FGH\), \(I \in [FG]\) et \(J \in [FH]\). \(FI=4\), \(IG=6\), \(FJ=5\), \(JH=7.5\). Les droites \((IJ)\) et \((GH)\) sont-elles parallèles ?

Exercice 10 : Rapport de proportionnalité

Dans la figure de l’Exo 9, si \((IJ) // (GH)\), quel est le rapport \(\frac{FI}{FG}\) ?

Exercice 11 : Problème d’échelle (Mât)

Un mât projette une ombre de 12 mètres. Au même instant, un bâton de 2m projette une ombre de 3m. Quelle est la hauteur du mât?

Exercice 12 : Réciproque de Thalès : Calcul et Conclusion

Dans un triangle \(ABC\), \(M \in [AB]\) et \(N \in [AC]\). \(AM=5\), \(MB=3\), \(AN=7\), \(NC=4.2\). Les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont-elles parallèles ?

Exercice 13 : Théorème des milieux dans un quadrilatère

Soit \(ABCD\) un quadrilatère. \(I, J, K, L\) sont les milieux respectifs de \([AB], [BC], [CD], [DA]\). Que peut-on dire du quadrilatère \(IJKL\)?

Exercice 14 : Droite des milieux et Périmètre

Dans le triangle \(ABC\), \(I, J, K\) sont les milieux respectifs de \([AB], [BC], [CA]\). Si \(AB=6\), \(BC=8\), \(CA=10\), calculer le périmètre du triangle \(IJK\).

Exercice 15 : Combinaison Thalès/Calculs Rationnels

Dans un triangle \(ABC\), \(M \in [AB]\) et \(N \in [AC]\). \((MN) // (BC)\). On donne \(\frac{AM}{MB} = \frac{1}{3}\) et \(AC = 12\). Calculer \(AN\).

Corrigés des exercices

Solution 1

D’après le théorème des milieux, le segment joignant les milieux de deux côtés est égal à la moitié du troisième côté.

\(IJ = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}\)

Solution 2

D’après le théorème des milieux, la droite joignant les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté.

\((IJ) // (BC)\)

Solution 3

D’après la réciproque du théorème des milieux : Si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

\(N\) est le milieu du segment \([EG]\).

Solution 4

D’après le théorème des milieux, \(AB = \frac{ST}{2}\). Donc \(ST = 2 \times AB\).

\(ST = 2 \times 4.5 = 9 \text{ cm}\)

Solution 5

D’après le théorème de Thalès : \(\frac{OM}{OA} = \frac{ON}{OB}\). On a \(OA = OM + MA = 2 + 4 = 6\).

\(\frac{2}{6} = \frac{ON}{9} \implies ON = \frac{2 \times 9}{6} = \frac{18}{6} = 3\)

Solution 6

On utilise le troisième rapport de Thalès : \(\frac{OM}{OA} = \frac{MN}{AB}\).

\(\frac{2}{6} = \frac{3}{AB} \implies 2 \times AB = 6 \times 3 \implies AB = \frac{18}{2} = 9\)

Solution 7

Dans la configuration « papillon », d’après Thalès : \(\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}\).

\(\frac{6}{3} = \frac{8}{OD} \implies 6 \times OD = 3 \times 8 \implies OD = \frac{24}{6} = 4\)

Solution 8

Puisque \((AH)\) est la hauteur issue de \(A\), on a \((AH) \perp (BC)\).

Comme \((D) // (BC)\), si une droite est perpendiculaire à l’une de deux droites parallèles, elle est perpendiculaire à l’autre.

Donc \((AH) \perp (D)\).

Solution 9

On compare les rapports :

Rapport 1 : \(\frac{FI}{IG} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

Rapport 2 : \(\frac{FJ}{JH} = \frac{5}{7.5} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3}\)

Comme \(\frac{FI}{IG} = \frac{FJ}{JH}\) et que les points sont alignés dans le bon ordre, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \((IJ)\) et \((GH)\) sont parallèles.

Solution 10

Le rapport cherché est \(\frac{FI}{FG}\). On sait que \(FG = FI + IG = 4 + 6 = 10\).

\(\frac{FI}{FG} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\)

Solution 11

On utilise le théorème de Thalès (ou la proportionnalité des triangles semblables) :

\(\frac{\text{hauteur mât}}{\text{ombre mât}} = \frac{\text{hauteur bâton}}{\text{ombre bâton}}\)

\(\frac{H}{12} = \frac{2}{3} \implies H = \frac{12 \times 2}{3} = \frac{24}{3} = 8\)

La hauteur du mât est de 8 mètres.

Solution 12

On compare les rapports (en vérifiant l’alignement des points) :

Rapport 1 : \(\frac{AM}{AB} = \frac{5}{5+3} = \frac{5}{8}\)

Rapport 2 : \(\frac{AN}{AC} = \frac{7}{7+4.2} = \frac{7}{11.2} = \frac{70}{112}\). Simplification : \(\frac{70 \div 14}{112 \div 14} = \frac{5}{8}\)

Comme \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\), les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles (réciproque de Thalès).

Solution 13

Dans \(\triangle ABC\), \((IJ)\) relie les milieux \([AB]\) et \([BC]\). Donc \((IJ) // (AC)\) et \(IJ = AC/2\).

Dans \(\triangle ADC\), \((LK)\) relie les milieux \([DA]\) et \([CD]\). Donc \((LK) // (AC)\) et \(LK = AC/2\).

Comme \((IJ) // (LK)\) et \(IJ = LK\), \(IJKL\) est un parallélogramme.

Solution 14

D’après le théorème des milieux :

\(IJ = CA/2 = 10/2 = 5\)
\(JK = AB/2 = 6/2 = 3\)
\(IK = BC/2 = 8/2 = 4\)

Périmètre de \(IJK = IJ + JK + IK = 5 + 3 + 4 = 12\).

Solution 15

On a \(\frac{AM}{MB} = \frac{1}{3}\). Donc \(MB = 3 \times AM\). D’où \(AB = AM + MB = AM + 3 \times AM = 4 \times AM\).

Le rapport de Thalès est \(\frac{AM}{AB} = \frac{AM}{4 \times AM} = \frac{1}{4}\).

Par Thalès : \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\), soit \(\frac{1}{4} = \frac{AN}{12}\).

\(AN = \frac{12}{4} = 3\)