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Exercices Corrigés : Triangle Rectangle et Cercle
2ème Année Collège (2 AC – Programme Maroc)
Énoncer la propriété essentielle du triangle rectangle concernant son cercle circonscrit.
Dans un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), où se situe le centre \(O\) du cercle circonscrit ?
Dans un triangle \(EFG\) rectangle en \(F\), quel est le diamètre du cercle circonscrit ?
Un triangle rectangle a une hypoténuse de \(12\) cm. Quel est le rayon de son cercle circonscrit ?
Énoncer la réciproque de la propriété fondamentale du triangle rectangle et de son cercle circonscrit.
Si \(O\) est le centre du cercle circonscrit à un triangle \(RST\) rectangle en \(S\), et que \(OT = 6\) cm, que vaut \(RS\)? (Attention, piège conceptuel!)
Soit un cercle de diamètre \([PQ]\). Si \(R\) est un point de ce cercle, quel est la nature du triangle \(PQR\) ?
Dans un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), quelle relation lie la longueur de la médiane issue de \(A\) et l’hypoténuse \([BC]\) ?
Dessiner un triangle \(MNP\) rectangle en \(M\) tel que \(MN = 4\) cm et \(MP = 3\) cm. Construire son cercle circonscrit et donner son rayon.
Un triangle \(ABC\) est à la fois rectangle en \(A\) et isocèle en \(A\). Que peut-on dire de son cercle circonscrit ?
Dans le triangle \(XYZ\), \(M\) est le milieu de \([YZ]\). Si \(XM = YM = ZM\), quelle est la nature du triangle \(XYZ\)?
Un triangle obtusangle a une hypoténuse de \(8\) cm. Où se situe le centre du cercle circonscrit par rapport au triangle ? Quel est le rayon de ce cercle ?
Un triangle \(ABC\) est inscrit dans un cercle de rayon \(R = 5\) cm. \([BC]\) est un diamètre. Si \(AB = 6\) cm, calculer \(AC\).
Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), \(M\) est le milieu de \([BC]\). Montrer que \(\triangle ABM\) est isocèle.
Dans un triangle rectangle \(ABC\) (angle droit en \(A\)), si \(I\) est le centre du cercle inscrit, est-ce que \(I\) appartient à la médiane issue de \(A\)? Justifier.
Corrigés des exercices
Si un triangle est rectangle, alors il est inscriptible dans un cercle dont l’hypoténuse est un diamètre.
Le centre \(O\) du cercle circonscrit se situe au milieu de l’hypoténuse \([BC]\).
Puisque le triangle est rectangle en \(F\), le côté opposé à l’angle droit, \([EG]\), est l’hypoténuse et représente le diamètre du cercle circonscrit.
Le diamètre est l’hypoténuse, soit \(12\) cm. Le rayon est la moitié du diamètre :
Si dans un triangle, la longueur de la médiane relative à un côté est égale à la moitié de la longueur de ce côté, alors ce triangle est rectangle et ce côté est son hypoténuse.
OU : Si un triangle est inscrit dans un cercle dont l’un des côtés est un diamètre, alors ce triangle est rectangle (et l’angle droit est l’angle opposé à ce diamètre).
Attention, \(OT\) est le rayon. L’hypoténuse est \([RT]\), et non \([RS]\). \(RT = 2 \times OT = 12\) cm.
\(RS\) est un des cathètes. On ne peut pas connaître sa longueur sans une autre information (angle ou autre côté).
Le triangle \(PQR\) est inscrit dans le cercle de diamètre \([PQ]\). D’après la réciproque du théorème fondamental :
Le triangle \(PQR\) est rectangle en \(R\).
La médiane issue du sommet de l’angle droit (\([AM]\), où \(M\) est le milieu de \([BC]\)) est égale à la moitié de l’hypoténuse.
L’hypoténuse est \([NP]\). D’après Pythagore (pour vérification) : \(NP^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25\), donc \(NP = 5\) cm.
Le diamètre du cercle circonscrit est \(NP = 5\) cm.
Il est rectangle en \(A\), son hypoténuse est \([BC]\). Le centre de son cercle circonscrit est le milieu de \([BC]\).
De plus, il est isocèle en \(A\), donc \(AB = AC\). Le centre du cercle circonscrit reste le milieu de l’hypoténuse.
Si la médiane \([XM]\) est égale à la moitié du côté opposé \([YZ]\) (\(YM = ZM\)), alors le triangle est rectangle en \(X\).
Le triangle \(XYZ\) est rectangle en \(X\).
La notion d’hypoténuse n’existe que dans un triangle rectangle. Si le triangle est obtusangle, le centre du cercle circonscrit se situe à l’extérieur du triangle.
La longueur du diamètre est \(8\) cm (le côté le plus long). Le rayon est \(4\) cm. (Cependant, le côté le plus long n’est pas nécessairement un diamètre du cercle circonscrit si le triangle n’est pas rectangle).
Hypothèse : S’il était rectangle, le rayon serait \(8/2 = 4\) cm. Mais ici, le triangle est obtusangle, la relation simple n’est pas applicable.
Puisque \([BC]\) est un diamètre, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\). On applique le théorème de Pythagore : \(AB^2 + AC^2 = BC^2\).
Diamètre \(BC = 2R = 10\) cm. \(6^2 + AC^2 = 10^2\)
Puisque \(\triangle ABC\) est rectangle en \(A\), \(M\) (milieu de \([BC]\)) est le centre du cercle circonscrit.
Par définition du centre du cercle circonscrit : \(AM = BM = CM\).
Puisque \(AM = BM\), le triangle \(\triangle ABM\) est isocèle en \(M\).
Non. La médiane issue de \(A\) passe par le milieu de \([BC]\). La bissectrice (qui contient \(I\)) de l’angle \(\widehat{BAC}\) passe également par \(A\).
Les deux droites ne sont confondues que si le triangle est isocèle en \(A\). Sinon, \(I\) n’est pas sur la médiane.