Exercices : Théorème de Pythagore et Cosinus

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Exercices Corrigés : Théorème de Pythagore et Cosinus

2ème Année Collège (2 AC – Programme Maroc)

Nom et Prénom : …………………………………………………… Classe : …………

Exercice 1 : Énoncé du Théorème de Pythagore

Énoncer le théorème de Pythagore dans un triangle \(ABC\) rectangle en \(B\).

Exercice 2 : Calcul de l’hypoténuse

Dans un triangle \(RST\) rectangle en \(R\), \(RS = 6\) cm et \(RT = 8\) cm. Calculer la longueur de l’hypoténuse \([ST]\).

Exercice 3 : Calcul d’un côté de l’angle droit

Le triangle \(MNO\) est rectangle en \(M\). \(NO = 13\) m et \(MN = 5\) m. Calculer la longueur \([MO]\).

Exercice 4 : La Réciproque de Pythagore

Un triangle a pour côtés \(a = 9\), \(b = 12\), et \(c = 15\). Le triangle est-il rectangle ? Justifier.

Exercice 5 : Racine Carrée

Un triangle \(EFG\) rectangle en \(F\) a \(EF = 4\) cm et \(FG = 7\) cm. Calculer \(EG^2\) puis donner la valeur de \(EG\) (en laisser la valeur exacte).

Exercice 6 : Vérification de triangle non-rectangle

Un triangle a pour côtés \(4, 5, 6\). Est-il rectangle ?

Exercice 7 : Application géométrique

Calculer la diagonale \([AC]\) d’un rectangle \(ABCD\) tel que \(AB = 7\) cm et \(BC = 5\) cm.

Exercice 8 : Définition du Cosinus

Dans un triangle rectangle, donner la formule du cosinus d’un angle aigu \(\alpha\).

Exercice 9 : Calcul du Cosinus

Dans le triangle \(RST\) de l’Exercice 2 (rectangle en \(R\), \(RS = 6\), \(ST = 10\)). Calculer \(\cos(\widehat{T})\).

Exercice 10 : Propriété du Cosinus

Le cosinus d’un angle aigu peut-il être égal à \(1.5\)? Justifier.

Exercice 11 : Détermination d’un angle

Si dans un triangle rectangle, \(\cos(\widehat{A}) = 0.5\). Quelle est la mesure de l’angle \(\widehat{A}\)?

Exercice 12 : Cosinus et longueur inconnue

Dans le triangle \(LMN\) rectangle en \(L\), \(\cos(\widehat{N}) = 0.8\) et \(LN = 16\) cm. Calculer la longueur de l’hypoténuse \([MN]\).

Exercice 13 : Cosinus et longueur adjacente inconnue

Dans le triangle \(IJK\) rectangle en \(J\), \(IK = 20\) cm et \(\cos(\widehat{I}) = 0.75\). Calculer la longueur \([IJ]\).

Exercice 14 : Cosinus et Pythagore combinés

Dans un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), \(AB = 9\) et \(BC = 15\). Calculer \(\cos(\widehat{B})\) et en déduire l’angle \(\widehat{B}\) (arrondir à l’unité près).

Exercice 15 : Problème d’échelle (échelle contre mur)

Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur. Le pied de l’échelle est à 3 m du mur. Calculer la hauteur à laquelle l’échelle atteint le mur.

Corrigés des exercices

Solution 1

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

\(AC^2 = AB^2 + BC^2\)

Solution 2

L’hypoténuse est \([ST]\). D’après Pythagore : \(ST^2 = RS^2 + RT^2\)

\(ST^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)

\(ST = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}\).

Solution 3

L’hypoténuse est \([NO]\). \(MO^2 = NO^2 – MN^2\)

\(MO^2 = 13^2 – 5^2 = 169 – 25 = 144\)

\(MO = \sqrt{144} = 12 \text{ m}\).

Solution 4

On compare le carré du plus grand côté avec la somme des carrés des deux autres :

\(c^2 = 15^2 = 225\)

\(a^2 + b^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\)

Puisque \(c^2 = a^2 + b^2\), d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle (en l’angle opposé au côté \(c\)).

Solution 5

\(EG^2 = EF^2 + FG^2 = 4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65\)

\(EG = \sqrt{65} \text{ cm}\)

Solution 6

Le plus grand côté est \(6\). \(6^2 = 36\). Somme des carrés : \(4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41\).

Puisque \(36 \neq 41\), le triangle n’est pas rectangle.

Solution 7

Dans le rectangle \(ABCD\), le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\). L’hypoténuse est \([AC]\).

\(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 7^2 + 5^2 = 49 + 25 = 74\)

\(AC = \sqrt{74} \text{ cm}\)

Solution 8

Le cosinus d’un angle aigu est le rapport de la longueur du côté adjacent à l’angle sur la longueur de l’hypoténuse.

\(\cos(\alpha) = \frac{\text{Côté adjacent}}{\text{Hypoténuse}}\)

Solution 9

Le côté adjacent à \(\widehat{T}\) est \([RT]\). (On sait que \(RT=8\) de l’Exo 2).

\(\cos(\widehat{T}) = \frac{RT}{ST} = \frac{8}{10} = 0.8\)

Solution 10

Non. Le cosinus est un rapport entre le côté adjacent et l’hypoténuse. L’hypoténuse est toujours le côté le plus long.

Par conséquent, \(\cos(\alpha) = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}} < 1\). Donc \(\cos(\alpha)\) est toujours compris entre \(0\) et \(1\). \(1.5\) est impossible.

Solution 11

On utilise la fonction arccos (ou la table trigonométrique) :

\(\widehat{A} = \arccos(0.5) = 60^\circ\)

Solution 12

Formule : \(\cos(\widehat{N}) = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}} = \frac{LN}{MN}\)

\(0.8 = \frac{16}{MN} \implies MN = \frac{16}{0.8}\)

\(MN = 20 \text{ cm}\)

Solution 13

Formule : \(\cos(\widehat{I}) = \frac{IJ}{IK}\)

\(0.75 = \frac{IJ}{20} \implies IJ = 0.75 \times 20\)

\(IJ = 15 \text{ cm}\)

Solution 14

Calcul de \(\cos(\widehat{B})\) : \(\cos(\widehat{B}) = \frac{AB}{BC} = \frac{9}{15} = 0.6\)

Calcul de l’angle : \(\widehat{B} = \arccos(0.6) \approx 53.13^\circ\)

\(\widehat{B} \approx 53^\circ\)

Solution 15

Le mur, le sol et l’échelle forment un triangle rectangle (sol \(\perp\) mur).

Hypoténuse = échelle = \(5\) m. Côté adjacent = distance au mur = \(3\) m.

Soit \(h\) la hauteur. \(h^2 = 5^2 – 3^2 = 25 – 9 = 16\)

\(h = \sqrt{16} = 4 \text{ m}\)

L’échelle atteint le mur à 4 mètres de hauteur.