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Exercices Corrigés : Introduction aux Nombres Réels (Racines Carrées)
2ème Année Collège (2 AC – Programme Maroc)
Calculer : \(A = \sqrt{16}\) et \(B = \sqrt{81}\).
Simplifier l’expression : \(C = \sqrt{49 \times 4}\).
Calculer : \(D = \sqrt{2} \times \sqrt{8}\).
Calculer : \(E = \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}\).
Écrire \(F = \sqrt{50}\) sous la forme \(a\sqrt{b}\), où \(b\) est le plus petit entier possible.
Simplifier : \(G = \sqrt{10^2}\) et \(H = (\sqrt{7})^2\).
Simplifier l’expression : \(I = \sqrt{18} + \sqrt{2}\).
Simplifier l’expression : \(J = \sqrt{45} – \sqrt{5}\).
Sachant que \(2^2 = 4\) et \(3^2 = 9\), donner un encadrement de \(\sqrt{7}\) par deux entiers consécutifs.
Développer et simplifier : \(K = \sqrt{3}(\sqrt{3} + 4)\).
Développer et simplifier : \(L = (1 + \sqrt{5})^2\).
Rendre le dénominateur rationnel pour : \(M = \frac{1}{\sqrt{6}}\).
Indiquer à quels ensembles (\(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\)) appartiennent les nombres : \(5\) et \(- \frac{1}{3}\).
Le nombre \(\sqrt{11}\) est-il rationnel ? Justifier votre réponse.
Simplifier au maximum l’expression : \(N = \sqrt{7} \times \sqrt{28} – 5\).
Corrigés des exercices
La racine carrée d’un nombre est le nombre positif dont le carré est égal à ce nombre.
Propriété : \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\)
On multiplie les nombres sous la racine :
Propriété : \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)
On décompose 50 par le plus grand carré parfait possible (\(25\)) :
La racine carrée annule le carré : \(\sqrt{a^2} = a\) et \((\sqrt{a})^2 = a\)
On simplifie \(\sqrt{18}\) : \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}\)
On simplifie \(\sqrt{45}\) : \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}\)
Puisque \(4 < 7 < 9\), on applique la racine carrée :
Utilisation de la distributivité :
Identité remarquable : \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
On multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{6}\) :
- \(5 \in \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\).
- \(-\frac{1}{3} \in \mathbb{Q}, \mathbb{R}\). (Il n’est pas décimal ni entier).
Non, \(\sqrt{11}\) n’est pas un nombre rationnel.
Justification : \(11\) n’est pas un carré parfait (il n’y a pas d’entier \(n\) tel que \(n^2 = 11\)). La racine carrée d’un entier qui n’est pas un carré parfait est toujours un nombre irrationnel (et donc réel, \(\mathbb{R}\)).
On multiplie les racines : \(\sqrt{7} \times \sqrt{28} = \sqrt{7 \times 28} = \sqrt{196}\)
On sait que \(14^2 = 196\).