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Exercices Corrigés : Proportionnalité et Fonctions Linéaires
2ème Année Collège (2 AC – Programme Maroc)
Calculer le coefficient de proportionnalité \(k\) dans le tableau ci-dessous :
| Quantité 1 | 2 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|
| Quantité 2 | 14 | 35 | 70 |
Le tableau ci-dessous est-il un tableau de proportionnalité ? Justifier.
| A | 3 | 6 | 9 |
|---|---|---|---|
| B | 12 | 24 | 30 |
Compléter le tableau de proportionnalité (coefficient \(k=2.5\)) :
| x | 4 | 6 | ? |
|---|---|---|---|
| y | ? | ? | 20 |
Quelle est la forme générale d’une fonction linéaire \(f\)?
Soit \(f\) une fonction linéaire telle que \(f(4) = 12\). Déterminer son coefficient \(a\).
Soit la fonction linéaire \(g(x) = -3x\). Calculer l’image de \(x = -5\).
Soit la fonction linéaire \(h(x) = \frac{1}{2} x\). Déterminer l’antécédent de \(y = 7\).
Comment la notion de fonction linéaire est-elle liée à la notion de proportionnalité ?
Que peut-on dire de la représentation graphique d’une fonction linéaire ?
La droite ci-dessous représente une fonction linéaire. Déterminer son coefficient \(a\) en utilisant le point marqué \((2, -4)\).
La fonction linéaire est \(f(x) = 5x\). Le point \(P(3, 16)\) appartient-il à sa courbe représentative ?
Une fonction linéaire \(f\) passe par le point \((-2, 10)\). Déterminer l’expression de \(f(x)\).
Une voiture consomme 8 litres d’essence pour 100 km. Quelle est la consommation pour 250 km ?
Sachant que \(f(x) = 4x\), simplifier l’expression : \(f(a) + f(b)\).
Sur une carte, 1 cm représente 50 km. Quelle est la distance réelle correspondant à 7,5 cm ?
Corrigés des exercices
Le coefficient de proportionnalité \(k\) est obtenu en divisant la quantité 2 par la quantité 1 :
Le coefficient est \(k = 7\).
On vérifie si les rapports sont égaux :
Puisque \(\frac{30}{9} \neq 4\), le tableau n’est pas un tableau de proportionnalité.
On utilise \(y = 2.5 \times x\). Pour \(x=4, y=10\). Pour \(x=6, y=15\). Pour \(y=20, x = \frac{20}{2.5} = 8\).
| x | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|
| y | 10 | 15 | 20 |
La forme générale d’une fonction linéaire est :
Où \(a\) est le coefficient directeur ou de proportionnalité.
On utilise la formule \(a = \frac{f(x)}{x}\) :
Le coefficient est \(a = 3\).
On remplace \(x\) par \(-5\) :
L’image de \(-5\) est \(15\).
On résout l’équation \(h(x) = 7\) :
L’antécédent de \(7\) est \(14\).
Une fonction linéaire \(f(x) = ax\) traduit une situation de proportionnalité. Le coefficient \(a\) est le coefficient de proportionnalité. La variable \(y\) est proportionnelle à \(x\).
La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du repère (point \((0, 0)\)).
Le coefficient \(a\) est donné par \(a = \frac{y}{x}\) pour tout point \((x, y)\) non nul de la droite.
Le coefficient est \(a = -2\), donc \(f(x) = -2x\).
On vérifie si \(f(3)\) est égal à \(16\) :
On utilise \(a = \frac{f(x)}{x} = \frac{10}{-2} = -5\).
Méthode du produit en croix (ou coefficient de proportionnalité \(k = \frac{8}{100} = 0.08\)).
Consommation \(C = 0.08 \times 250\)
On utilise la propriété \(f(a) + f(b) = a + b\) :
Échelle : \(k = \frac{50}{1} = 50\) (km par cm).
Distance réelle \(D = 7.5 \times 50\)