Droites Remarquables dans un Triangle – Cours 1ère Année Collège

Cours : Droites Remarquables
I – Bissectrices d’un triangle
Définition
Une bissectrice d’un triangle est une droite qui partage un angle du triangle en deux angles de même mesure.
Exemple
$$ \widehat{BAA’} = \widehat{CAA’} = \frac{1}{2}\widehat{BAC} $$
Propriété
  • Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes.
  • Leur point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle (le cercle tangent aux trois côtés).
Application
Soit la figure ci-contre. On donne : $\widehat{BAM} = \widehat{MAC} = 50^{\circ}$ et $\widehat{ABM} = \widehat{MBC} = 25^{\circ}$. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{MCA}$.
Correction de l’application
Puisque $\widehat{BAM} = \widehat{MAC}$, (AM) est la bissectrice de $\widehat{BAC}$.
Puisque $\widehat{ABM} = \widehat{MBC}$, (BM) est la bissectrice de $\widehat{ABC}$.
Le point M est donc le point de concours des bissectrices, centre du cercle inscrit. La droite (CM) est la bissectrice de l’angle $\widehat{ACB}$.
La somme des angles du triangle ABC est $180^{\circ}$.
$\widehat{BAC} = 2 \times 50^{\circ} = 100^{\circ}$
$\widehat{ABC} = 2 \times 25^{\circ} = 50^{\circ}$
$\widehat{ACB} = 180^{\circ} – (100^{\circ} + 50^{\circ}) = 30^{\circ}$.
Puisque (CM) est la bissectrice de $\widehat{ACB}$, on a : $\widehat{MCA} = \frac{\widehat{ACB}}{2} = \frac{30^{\circ}}{2} = 15^{\circ}$.
II – Médianes d’un triangle
Définition
Une médiane d’un triangle est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet.
Exemple
Propriété
  • Les trois médianes d’un triangle sont concourantes.
  • Leur point de concours est appelé le centre de gravité du triangle.
  • Le centre de gravité est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet. $AG = \frac{2}{3}AA’$, $BG = \frac{2}{3}BB’$, $CG = \frac{2}{3}CC’$.
Application
Soit un triangle ABC. Soit I le milieu de [AB] et J le milieu de [BC]. Les droites (AJ) et (CI) se coupent en M. La droite (BM) coupe (AC) en K. Montrer que K est le milieu de [AC].
Correction de l’application
Dans le triangle ABC :
  • J est le milieu de [BC], donc (AJ) est la médiane issue de A.
  • I est le milieu de [AB], donc (CI) est la médiane issue de C.
Ces deux médianes se coupent en M, qui est donc le centre de gravité du triangle ABC. La troisième médiane, issue de B, doit aussi passer par le centre de gravité M. C’est donc la droite (BM). Par définition, la médiane issue de B passe par le milieu du côté opposé [AC]. Comme K est l’intersection de (BM) et (AC), K est le milieu de [AC].
III – Reconnaissance d’un triangle isocèle
Propriété
  • Si dans un triangle une hauteur est en même temps bissectrice, alors ce triangle est isocèle.
  • Si dans un triangle une médiane est en même temps hauteur, alors ce triangle est isocèle.
  • Si dans un triangle une bissectrice est en même temps médiane, alors ce triangle est isocèle.
Remarque

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