Maîtrise des règles de calcul sur les racines carrées et élimination du radical au dénominateur.

1. Calculer et donner le résultat sous forme d’un entier :

• \(A = \sqrt{49} + \sqrt{25}\)
• \(B = \sqrt{18} \times \sqrt{2}\)
• \(C = \frac{\sqrt{300}}{\sqrt{3}}\)

2. Écrire les expressions suivantes sous la forme \(a\sqrt{b}\) où \(a \in \mathbb{Z}\) et \(b\) est l’entier positif le plus petit possible :

• \(D = \sqrt{50} – 2\sqrt{8} + \sqrt{2}\)
• \(E = \sqrt{27} + \sqrt{12} – \sqrt{75}\)
• \(F = \sqrt{20} \times \sqrt{5} + 3\sqrt{45}\)

Rendre rationnel le dénominateur des nombres suivants (supprimer la racine au dénominateur) :

• \(X = \frac{5}{\sqrt{3}}\)
• \(Y = \frac{2}{3\sqrt{7}}\)
• \(Z = \frac{1}{\sqrt{5} – 2}\) (Utiliser l’expression conjuguée)

Développement, réduction et factorisation à l’aide des identités remarquables.

Développer puis réduire les expressions suivantes :

1. \(A = (x + 5)^2\)
2. \(B = (2x – 3)^2\)
3. \(C = (3x – 4)(3x + 4)\)
4. \(D = (\sqrt{5} + 2)^2\) (Attention au double produit avec la racine)
5. \(E = (x – 2)^2 + (x + 3)(x – 3)\)

Factoriser les expressions suivantes :

1. \(F = x^2 – 81\)
2. \(G = 9x^2 + 6x + 1\)
3. \(H = 4x^2 – 12x + 9\)
4. \(I = (2x – 1)(x + 4) + (2x – 1)(3x + 2)\)
5. \(J = (x + 3)^2 – 16\) (Indice : de la forme \(A^2 – B^2\))

Règles de calcul sur les puissances et notation scientifique.

Calculer :

• \(K = 2^{-3}\)
• \(L = \left( \frac{3}{4} \right)^{-2}\)
• \(M = (-5)^2 + (-1)^{2023}\)

Écrire sous la forme \(10^n\) ou \(a^n\) :

1. \(N = 10^4 \times 10^{-7} \times (10^2)^3\)
2. \(P = \frac{a^5 \times (a^{-2})^3}{a^4}\) (où \(a\) est un nombre réel non nul)

Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :

• \(X = 425 \ 000 \ 000\)
• \(Y = 0,000 \ 017\)
• \(Z = 15 \times 10^{-3} + 2 \times 10^{-2}\) (Attention à la somme)

On considère un rectangle \(ABCD\) tel que \(AB = \sqrt{5} + 2\) et \(AD = \sqrt{5} – 2\).

1. Développer et simplifier l’expression de l’aire \(S\) de ce rectangle.
   \(S = (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} – 2)\).
2. Calculer le périmètre \(P\) de ce rectangle. Donner le résultat sous la forme \(a\sqrt{5}\).
3. Calculer la longueur de la diagonale \(AC\). (Utiliser Pythagore et les identités remarquables développées dans l’exercice 2 si nécessaire).