Devoir Libre N°3 – Semestre 1 Pythagore, Trigonométrie, Angles & Triangles Semblables

Devoir Libre 3 S1 – 3ème Année Collège

Devoir Libre N°3 – Semestre 1

Pythagore, Trigonométrie, Angles & Triangles Semblables

Mathématiques

Niveau : 3ème Année Collège (3AC)

Nom et Prénom : ……………………………………………………………………………… Classe : ………… Note : …….. / 20
Exercice 1 : Pythagore et Trigonométrie (5 points)

Application directe dans un triangle rectangle.

A B C 3 cm 4 cm

Figure indicative (non à l’échelle)

Partie A : Calculs

Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) tel que \(AB = 3 \text{ cm}\) et \(AC = 4 \text{ cm}\).

  1. Calculer la longueur \(BC\) en utilisant le théorème de Pythagore.
  2. Calculer \(\cos(\widehat{ABC})\), \(\sin(\widehat{ABC})\) et \(\tan(\widehat{ABC})\).
  3. Vérifier par le calcul que \((\cos \widehat{B})^2 + (\sin \widehat{B})^2 = 1\).
  4. En déduire la mesure de l’angle \(\widehat{ABC}\) (à un degré près) si vous disposez d’une calculatrice, sinon donner la valeur exacte.
Partie B : Relations trigonométriques

Soit \(x\) la mesure d’un angle aigu.

  1. Sachant que \(\cos(x) = 0,6\), calculer \(\sin(x)\) sans calculer la mesure de l’angle.
  2. En déduire \(\tan(x)\).
  3. Simplifier l’expression : \(A = (\cos x + \sin x)^2 – 2 \cos x \sin x\).
Exercice 2 : Angles inscrits et Angles au centre (5 points)

Utilisation des propriétés des angles dans un cercle.

O A B M 100°
Questions
  1. Calculer la mesure de l’angle inscrit \(\widehat{AMB}\). Justifier la réponse.
  2. On place un point \(N\) sur le cercle tel que \(N\) et \(M\) soient de part et d’autre de la corde \([AB]\).
    Sachant que le quadrilatère \(AMBN\) est inscriptible, quelle relation existe-t-il entre \(\widehat{AMB}\) et \(\widehat{ANB}\) ?
  3. Si le triangle \(AOB\) est isocèle en \(O\), calculer les angles \(\widehat{OAB}\) et \(\widehat{OBA}\).
Exercice 3 : Triangles Semblables (5 points)

Démonstration de similitude et calcul de rapports.

A B C 6 12 9 E F G 4 8 6
Questions
  1. Calculer les rapports \(\frac{EF}{AB}\), \(\frac{EG}{AC}\) et \(\frac{FG}{BC}\).
  2. Que remarque-t-on ?
  3. En déduire que les triangles \(ABC\) et \(EFG\) sont semblables.
  4. Déterminer le rapport de similitude \(k\) qui permet de passer du triangle \(ABC\) au triangle \(EFG\). S’agit-il d’un agrandissement ou d’une réduction ?
  5. Si l’aire du triangle \(ABC\) est de \(27 \text{ cm}^2\), quelle est l’aire du triangle \(EFG\) ? (Rappel : Aire’ = \(k^2 \times\) Aire).
Exercice 4 : Triangles Isométriques et Synthèse (5 points)

Preuve d’isométrie et utilisation des propriétés géométriques.

O E F A B C D
Questions
  1. Considérons les triangles \(OAE\) et \(OCF\).
    • Comparer les longueurs \(OA\) et \(OC\) (Propriété du parallélogramme).
    • Comparer les angles \(\widehat{AOE}\) et \(\widehat{COF}\) (Angles opposés par le sommet).
    • Comparer les angles \(\widehat{OAE}\) et \(\widehat{OCF}\) (Angles alternes-internes car \((AB) // (CD)\)).
  2. En déduire que les triangles \(OAE\) et \(OCF\) sont isométriques.
  3. Que peut-on en déduire pour les longueurs \(OE\) et \(OF\) ? Que représente \(O\) pour le segment \([EF]\) ?