Devoir Libre N°1 – Semestre 2 Équations, Inéquations & Vecteurs (3AC)

Devoir Libre 1 S2 – 3ème Année Collège

Devoir Libre N°1 – Semestre 2

Équations, Inéquations & Vecteurs

Mathématiques

Niveau : 3ème Année Collège (3AC)

Nom et Prénom : ……………………………………………………………………………… Classe : ………… Note : …….. / 20
Exercice 1 : Équations (5 points)

Résolution d’équations du premier degré, équations produits et équations avec fractions.

Partie A : Équations simples et développées

Résoudre les équations suivantes :

  1. \(3x – 5 = 7\)
  2. \(4(x – 2) = 2x + 6\)
  3. \(2x – (x + 3) = 5x – 1\)
Partie B : Équation produit nul

Résoudre les équations suivantes (Rappel : un produit de facteurs est nul si…) :

  1. \((2x – 4)(x + 3) = 0\)
  2. \((3x + 1)^2 – 9 = 0\) (Indice : Factoriser d’abord en utilisant \(a^2 – b^2\))
Partie C : Équations avec fractions

Résoudre l’équation suivante en mettant au même dénominateur :

\(\frac{x – 1}{3} – \frac{2x + 1}{6} = 1\)

Exercice 2 : Inéquations et Problème (5 points)

Résolution d’inéquations, représentation graphique et mise en inéquation.

Partie A : Résolution
  1. Résoudre l’inéquation : \(3x – 5 < 10\). Représenter les solutions sur une droite graduée.
  2. Résoudre l’inéquation : \(-2x + 7 \geq 15\). (Attention au changement de sens).
  3. Résoudre l’inéquation : \(\frac{x}{2} + 1 \leq \frac{x – 3}{4}\).
Partie B : Problème

Un club de sport propose deux tarifs :

  • Tarif A : 50 DH par séance.
  • Tarif B : Un abonnement annuel de 400 DH plus 30 DH par séance.

À partir de combien de séances le Tarif B devient-il plus avantageux (moins cher) que le Tarif A ?

Exercice 3 : Vecteurs et Simplification (4 points)

Utilisation de la relation de Chasles pour simplifier des sommes vectorielles.

1. Simplifier les écritures suivantes en utilisant la relation de Chasles :

  • \(\vec{u} = \vec{AB} + \vec{BC}\)
  • \(\vec{v} = \vec{AC} + \vec{BA} + \vec{CB}\)
  • \(\vec{w} = \vec{MA} – \vec{MB} – \vec{AB}\)

2. Soit \(ABCD\) un parallélogramme. Simplifier :

  • \(\vec{S} = \vec{AB} + \vec{AD}\)
  • \(\vec{T} = \vec{CB} + \vec{CD}\)
Exercice 4 : Géométrie Vectorielle (6 points)

Construction de vecteurs, image d’un point par translation et démonstration.

A B C M BC

Triangle de référence (M est à construire)

Partie A : Construction

Soit \(ABC\) un triangle.

  1. Construire le point \(M\) image du point \(A\) par la translation de vecteur \(\vec{BC}\).
    (Autrement dit : \(\vec{AM} = \vec{BC}\)).
  2. Quelle est la nature du quadrilatère \(ABCM\) ? Justifier.
  3. Construire le point \(N\) symétrique de \(A\) par rapport à \(B\).
Partie B : Démonstration
  1. Exprimer le vecteur \(\vec{BN}\) en fonction de \(\vec{AB}\) (sachant que \(B\) est le milieu de \([AN]\)).
  2. Montrer que \(\vec{BN} = \vec{MC}\) (Indice : utiliser le quadrilatère \(ABCM\)).
  3. En déduire que \(C\) est le milieu du segment \([MN]\) ? (Question bonus : vérifier cette affirmation sur la figure).