Calcul de coordonnées de vecteurs, milieux et distances.

Dans un repère orthonormé \((O, I, J)\), on considère les points :
\(A(-2 ; 3)\), \(B(4 ; 1)\) et \(C(2 ; -3)\).

1. Placer les points dans un repère (ou reproduire le croquis).
2. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{BC}\).
3. Calculer les distances \(AB\), \(BC\) et \(AC\).
4. Montrer que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\) (Utiliser la réciproque de Pythagore).
5. Calculer les coordonnées du point \(K\), milieu du segment \([AC]\).

Détermination d’équations réduites et étude de positions relatives (parallèles/perpendiculaires).

Soient \(A(1 ; 2)\) et \(B(3 ; 6)\) deux points du plan.

1. Déterminer le coefficient directeur (la pente) \(m\) de la droite \((AB)\).
2. Déterminer l’ordonnée à l’origine \(p\).
3. En déduire l’équation réduite de la droite \((AB)\) sous la forme \(y = mx + p\).
4. Le point \(E(10 ; 20)\) appartient-il à la droite \((AB)\) ? Justifier.

On considère la droite \((D)\) d’équation \(y = 2x + 1\).

1. Déterminer l’équation de la droite \((\Delta)\) passant par le point \(C(0 ; -2)\) et parallèle à \((D)\).
2. Déterminer l’équation de la droite \((L)\) passant par le point \(A(1 ; 2)\) et perpendiculaire à \((D)\). (Rappel : le produit des coefficients directeurs vaut -1).

Résolution algébrique par substitution et combinaison linéaire.

1. Résoudre le système suivant par la méthode de substitution :
   \(\begin{cases} x = 2y – 3 \\ 3x + y = 5 \end{cases}\)
2. Résoudre le système suivant par la méthode de combinaison linéaire :
   \(\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x – y = 7 \end{cases}\)

On considère les droites \((D_1) : y = -x + 4\) et \((D_2) : y = 2x – 2\).

1. Tracer ces deux droites dans un repère.
2. Déterminer graphiquement les coordonnées de leur point d’intersection.
3. Vérifier ce résultat par le calcul en résolvant le système :
   \(\begin{cases} y = -x + 4 \\ y = 2x – 2 \end{cases}\)

Mise en équation d’un problème concret conduisant à un système.

Énoncé :

Dans une ferme, il y a des poules et des moutons. Le fermier compte au total 30 têtes et 84 pattes.

1. Soit \(x\) le nombre de poules et \(y\) le nombre de moutons.
   Exprimer le nombre total de têtes en fonction de \(x\) et \(y\).
2. Exprimer le nombre total de pattes en fonction de \(x\) et \(y\) (sachant qu’une poule a 2 pattes et un mouton en a 4).
3. Écrire le système d’équations correspondant à ce problème.
4. Résoudre le système pour trouver le nombre de poules et de moutons.