Cours Complet : Pythagore et Trigonométrie (3AC)

LE GRAND COURS DE MATHÉMATIQUES

Pythagore et Trigonométrie

Géométrie – Niveau 3AC

Table des Matières

1. Le Triangle Rectangle : Vocabulaire
2. Le Théorème de Pythagore (Rappels)
3. La Réciproque de Pythagore
4. Introduction à la Trigonométrie
5. Les 3 Formules Magiques : SOH CAH TOA
6. Application : Calculer une longueur
7. Application : Calculer un angle
8. Relations Trigonométriques
9. Synthèse et Erreurs Fréquentes

1. Le Triangle Rectangle : Vocabulaire

Avant de commencer, il est indispensable de maîtriser le vocabulaire. Dans un triangle rectangle, chaque côté a un nom précis par rapport à un angle donné.

L’Hypoténuse : C’est le côté le plus long, toujours situé en face de l’angle droit. Il ne change jamais de nom.
Le Côté Opposé : C’est le côté situé « en face » de l’angle aigu que l’on étudie. Il ne touche pas cet angle.
Le Côté Adjacent : C’est le côté qui « touche » l’angle aigu (mais qui n’est pas l’hypoténuse).

2. Le Théorème de Pythagore (Rappels)

Ce théorème relie les longueurs des trois côtés d’un triangle rectangle.

THÉORÈME DIRECT

Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Hypoténuse² = Côté1² + Côté2²

Exemple : Calcul de l’hypoténuse

Soit ABC rectangle en A, avec $AB = 3$ cm et $AC = 4$ cm.

On écrit l’égalité : $BC^2 = AB^2 + AC^2$
On remplace : $BC^2 = 3^2 + 4^2$
On calcule : $BC^2 = 9 + 16 = 25$
On prend la racine : $BC = \sqrt{25} = 5$ cm.

3. La Réciproque de Pythagore

La réciproque sert à prouver qu’un triangle est rectangle (ou qu’il ne l’est pas).

RÉCIPROQUE

Dans un triangle, si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

MÉTHODE DE RÉDACTION

Ne jamais écrire l’égalité $A^2 + B^2 = C^2$ dès le début ! On ne sait pas encore si c’est vrai.

On calcule le carré du plus grand côté séparément.
On calcule la somme des carrés des deux autres côtés séparément.
On compare les résultats.

4. Introduction à la Trigonométrie

La trigonométrie (du grec « mesure des triangles ») permet de lier les longueurs des côtés aux mesures des angles. Cela ne fonctionne que dans les triangles rectangles.

Il existe trois nombres, sans unité, appelés Cosinus, Sinus et Tangente.

5. Les 3 Formules Magiques : SOH CAH TOA

Voici les définitions à connaître par cœur :

$\cos(\text{angle}) = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}$

$\sin(\text{angle}) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}$

$\tan(\text{angle}) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}$

ASTUCE MNÉMOTECHNIQUE

SOH – CAH – TOA

SOH : Sinus = Opposé / Hypoténuse
CAH : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
TOA : Tangente = Opposé / Adjacent

6. Application : Calculer une longueur

On connaît un côté et un angle, on cherche un autre côté.

Exemple

Soit $ABC$ rectangle en $B$. On sait que $\widehat{BAC} = 30^\circ$ et l’hypoténuse $AC = 10$ cm. On cherche $BC$.

Identifier : Pour l’angle $\widehat{A}$, $BC$ est le côté Opposé et $AC$ est l’Hypoténuse.
Choisir : Opposé et Hypoténuse $\rightarrow$ c’est SOH (Sinus).
Écrire : $\sin(\widehat{BAC}) = \frac{BC}{AC}$
Remplacer : $\sin(30^\circ) = \frac{BC}{10}$
Calculer : $BC = 10 \times \sin(30^\circ)$. Comme $\sin(30^\circ) = 0,5$, alors $BC = 5$ cm.

7. Application : Calculer un angle

On connaît deux côtés, on cherche la mesure d’un angle. On utilise les touches $\text{Arccos}$ ($\cos^{-1}$), $\text{Arcsin}$ ($\sin^{-1}$) ou $\text{Arctan}$ ($\tan^{-1}$) de la calculatrice.

Exemple

Soit $EFG$ rectangle en $E$. $EF = 3$ cm (Adjacent) et $EG = 4$ cm (Opposé). On cherche l’angle $\widehat{F}$.

Identifier : On a l’Opposé et l’Adjacent $\rightarrow$ TOA (Tangente).
Écrire : $\tan(\widehat{F}) = \frac{EG}{EF} = \frac{4}{3}$.
Calculer : À la calculatrice, on tape $\text{Arctan}(4/3)$.
Résultat : $\widehat{F} \approx 53,1^\circ$.

8. Relations Trigonométriques

Il existe des liens entre cosinus, sinus et tangente, valables pour tout angle aigu $x$.

RELATION FONDAMENTALE

$(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1$

Note : On écrit souvent $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.

RELATION DE LA TANGENTE

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

Exercice Type

Sachant que $\cos x = 0,8$, calculer $\sin x$.

On utilise $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.
$0,8^2 + \sin^2 x = 1 \Rightarrow 0,64 + \sin^2 x = 1$.
$\sin^2 x = 1 – 0,64 = 0,36$.
$\sin x = \sqrt{0,36} = 0,6$.

9. Synthèse et Erreurs Fréquentes

MUSÉE DES HORREURS

⛔ Utiliser Pythagore ou la Trigo dans un triangle qui n’est PAS rectangle.
⛔ Confondre Adjacent et Opposé (ça dépend de l’angle qu’on regarde !).
⛔ Calculatrice en Radians (RAD) au lieu de Degrés (DEG). Vérifiez toujours votre écran !
⛔ Écrire $\sin = \frac{Opp}{Hyp}$ sans mettre l’angle (ex: $\sin(\widehat{A})$). Sinus tout seul ne veut rien dire.
⛔ Trouver un Cosinus ou un Sinus plus grand que 1 (Impossible, l’hypoténuse est le plus grand côté).