LE GRAND COURS DE MATHÉMATIQUES – VERSION ENRICHIE
Vecteurs et Translation
Géométrie Vectorielle – Niveau 3AC
1. Qu’est-ce qu’un vecteur ?
En physique et en mathématiques, un vecteur représente un déplacement. Imaginez que vous glissez un objet d’un point A vers un point B. Ce mouvement est défini par trois caractéristiques précises.
Le vecteur $\vec{AB}$ est défini par :
- Une Direction : C’est la droite $(AB)$ (l’inclinaison, la « pente »).
- Un Sens : De A vers B (la flèche).
- Une Norme (ou Longueur) : La distance $AB$.
Si le point de départ et d’arrivée sont les mêmes (déplacement nul), on obtient le vecteur nul, noté $\vec{0}$.
2. L’Égalité de deux vecteurs
Deux vecteurs peuvent être égaux même s’ils ne sont pas au même endroit. C’est comme copier-coller un déplacement.
Dire que $\vec{AB} = \vec{CD}$ signifie que le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme.
Attention à l’ordre des lettres : ABDC, pas ABCD !
3. La Somme de deux vecteurs
Additionner deux vecteurs revient à enchaîner deux déplacements.
4. La Relation de Chasles
C’est la règle la plus célèbre sur les vecteurs. Elle permet de simplifier les chemins : « Si je vais de A à B, puis de B à C, c’est comme si j’étais allé directement de A à C. »
Pour tous points A, B et C :
Astuce : Le point d’arrivée du premier vecteur (B) est le point de départ du second. Il « disparaît ».
- $\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MP}$
- $\vec{AB} – \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{CA} = \vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$ (Attention aux signes !)
- $\vec{EF} + \vec{FG} + \vec{GH} = \vec{EH}$
5. La Règle du Parallélogramme
Comment additionner deux vecteurs qui partent du même point ?
La somme $\vec{AB} + \vec{AC}$ est égale au vecteur $\vec{AD}$ tel que le quadrilatère ABDC soit un parallélogramme.
6. La Translation
La translation est la transformation géométrique associée aux vecteurs. Elle fait « glisser » une figure sans la tourner ni la déformer.
L’image d’un point M par la translation de vecteur $\vec{u}$ (ou vecteur $\vec{AB}$) est l’unique point M’ tel que :
(ou $\vec{MM’} = \vec{AB}$)
7. Image d’un point et Construction
Pour construire l’image M’ de M par la translation de vecteur $\vec{AB}$ :
- Si M n’est pas sur la droite (AB) : On construit M’ pour que ABM’M soit un parallélogramme.
- Si M est sur la droite (AB) : On reporte la longueur AB à partir de M, dans le même sens.
La translation conserve :
- Les longueurs (isométrie).
- Le parallélisme.
- L’alignement.
- Les angles.
- Les aires.
8. Exercices Types Corrigés
Simplifier l’expression : $\vec{u} = \vec{AB} – \vec{AC} + \vec{BC} – \vec{BA}$.
Solution :
- On transforme les soustractions en additions (opposés) : $\vec{u} = \vec{AB} + \vec{CA} + \vec{BC} + \vec{AB}$.
- On regroupe pour utiliser Chasles : $\vec{u} = (\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{CA} + \vec{AB})$.
- $\vec{u} = \vec{AC} + \vec{CB}$.
- $\vec{u} = \vec{AB}$.
Soit ABCD un parallélogramme. Construire E tel que $\vec{AE} = \vec{AC} + \vec{AD}$.
Solution :
- On sait que $\vec{AC} + \vec{AD}$ partent du même point A. On utilise la règle du parallélogramme.
- Le vecteur somme $\vec{AE}$ sera la diagonale du parallélogramme formé par les côtés $[AC]$ et $[AD]$.
- Donc, le quadrilatère ACED doit être un parallélogramme.