Cours Enrichi : Repère dans le Plan (3AC)

Cours Enrichi : Repère dans le Plan (3AC)

LE GRAND COURS DE MATHÉMATIQUES – VERSION ENRICHIE

Le Repère dans le Plan

Coordonnées & Distances – Niveau 3AC

Plan Détaillé du Cours

1. Qu’est-ce qu’un Repère ?

Pour se repérer sur une carte (ou dans un plan), on a besoin d’un système de référence. C’est le rôle du repère $(O, I, J)$.

O I (1) J (1)
TYPES DE REPÈRES
  • Repère quelconque : Les axes sont sécants, les unités OI et OJ sont différentes.
  • Repère Orthogonal : Les axes sont perpendiculaires ($(OI) \perp (OJ)$).
  • Repère Orthonormé : Les axes sont perpendiculaires ET les unités sont égales ($OI = OJ = 1$). C’est le plus utilisé.

2. Coordonnées d’un Point

Tout point $M$ du plan est repéré par un couple unique de nombres $(x ; y)$.

  • $x$ est l’abscisse (axe horizontal).
  • $y$ est l’ordonnée (axe vertical).
NOTATION

On écrit $M(x ; y)$. Jamais $M = (x ; y)$ ni $M(x, y)$ (la virgule est pour les nombres décimaux).

3. Coordonnées d’un Vecteur

Un vecteur représente un déplacement. Ses coordonnées $(X ; Y)$ indiquent de combien on avance en abscisse et en ordonnée pour aller du départ à l’arrivée.

FORMULE FONDAMENTALE

Si $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$, alors les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont :

$\vec{AB} \begin{pmatrix} x_B – x_A \\ y_B – y_A \end{pmatrix}$

Moyen mnémotechnique : Toujours « Extrémité moins Origine » (La fin moins le début).

Exemple

Soit $A(2 ; 3)$ et $B(-1 ; 5)$. Calculer les coordonnées de $\vec{AB}$.

  • Abscisse : $x_B – x_A = -1 – 2 = -3$.
  • Ordonnée : $y_B – y_A = 5 – 3 = 2$.

Donc $\vec{AB}(-3 ; 2)$. Cela signifie : « Reculer de 3, Monter de 2 ».

4. Égalité de Vecteurs et Parallélogramme

Les coordonnées permettent de prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme sans faire de géométrie pure.

PROPRIÉTÉ

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.

Si $\vec{AB}(x ; y)$ et $\vec{DC}(x’ ; y’)$, alors $\vec{AB} = \vec{DC} \iff x=x’ \text{ et } y=y’$.

Application : Prouver un Parallélogramme

Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme.

  1. Calculer les coordonnées de $\vec{AB}$.
  2. Calculer les coordonnées de $\vec{DC}$ (Attention à l’ordre !).
  3. Si les résultats sont identiques, alors $\vec{AB} = \vec{DC}$, donc c’est un parallélogramme.

5. Coordonnées du Milieu d’un Segment

Le milieu est la « moyenne » des extrémités.

A B M Moyenne des x
FORMULE DU MILIEU

Si $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$, le milieu $M$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées :

$M \left( \frac{x_A + x_B}{2} \ ; \ \frac{y_A + y_B}{2} \right)$
ATTENTION

Pour le milieu, on AJOUTE les coordonnées (c’est une moyenne).
Pour le vecteur, on SOUSTRAIT les coordonnées (c’est une différence).

6. La Distance entre deux Points

Cette formule ne fonctionne que dans un REPÈRE ORTHONORMÉ.

FORMULE DE LA DISTANCE

La longueur du segment $[AB]$ est donnée par :

$AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}$
D’OÙ VIENT CETTE FORMULE ?

C’est tout simplement le Théorème de Pythagore !

  • $(x_B – x_A)^2$ est le carré du déplacement horizontal.
  • $(y_B – y_A)^2$ est le carré du déplacement vertical.
  • La somme donne le carré de l’hypoténuse ($AB^2$).
Exemple de Calcul

$A(-2 ; 1)$ et $B(4 ; 9)$. Calculer $AB$.

  1. $x_B – x_A = 4 – (-2) = 6$.
  2. $y_B – y_A = 9 – 1 = 8$.
  3. Carrés : $6^2 = 36$ et $8^2 = 64$.
  4. Somme : $36 + 64 = 100$.
  5. Racine : $AB = \sqrt{100} = 10$.

7. Synthèse et Erreurs Fréquentes

MUSÉE DES HORREURS
  • ⛔ Inverser $x$ et $y$ dans les formules. (Toujours $x$ en premier !).
  • ⛔ Faire $x_A – x_B$ pour le vecteur. (C’est toujours Fin – Début).
  • ⛔ Oublier la racine carrée dans la formule de la distance.
  • ⛔ Écrire $AB = \sqrt{(x_B – x_A) + (y_B – y_A)}$. (Oubli des carrés !).
  • ⛔ Dire que $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$. (C’est faux ! $\sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5$, alors que $3+4=7$).

Fin du Cours Enrichi – Repère dans le Plan – Niveau 3ème Année Collège