LE MANUEL COMPLET – VERSION INTÉGRALE
Fonctions Linéaires & Affines
Analyse & Modélisation – Niveau 3AC
- 1. Introduction : Le Concept de Fonction
- 2. Généralités : Vocabulaire et Notation
- 3. La Fonction Linéaire (Proportionnalité)
- 4. Représentation Graphique (Linéaire)
- 5. Déterminer une Fonction Linéaire
- 6. La Fonction Affine (Généralisation)
- 7. Représentation Graphique (Affine)
- 8. Déterminer une Fonction Affine
- 9. Cas Particuliers : Constante & Identité
- 10. Lecture Graphique et Interprétation
- 11. Applications Concrètes
- 12. Synthèse et Pièges
1. Introduction : Le Concept de Fonction
Le mot « fonction » apparaît pour la première fois sous la plume du mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz en 1673. Mais c’est le grand Leonhard Euler (XVIIIe siècle) qui a généralisé la notation $f(x)$ que nous utilisons encore aujourd’hui.
Pour comprendre une fonction, il faut imaginer une machine. Une usine de transformation.
- Vous faites entrer une matière première (un nombre $x$).
- La machine applique un programme précis (multiplier par 2, ajouter 5, etc.).
- La machine ressort un produit fini (le résultat $y$ ou $f(x)$).
Cette idée de « relation » entre deux quantités est la base de toute la science moderne : la distance dépend du temps, le prix dépend du poids, la température dépend de l’altitude, etc.
2. Généralités : Vocabulaire et Notation
Avant d’étudier les fonctions linéaires, posons le vocabulaire universel des fonctions.
- La variable : C’est le nombre de départ, noté $x$. C’est lui qui change.
- L’image : C’est le résultat obtenu après le calcul. On le note $f(x)$. On dit que $f(x)$ est l’image de $x$ par la fonction $f$.
- L’antécédent : C’est le nombre de départ qu’il fallait choisir pour obtenir un certain résultat. Si $f(x) = y$, alors $x$ est l’antécédent de $y$.
On note souvent : $f : x \longmapsto 3x – 2$.
Cela se lit : « La fonction $f$ qui à $x$ associe $3x – 2$ ».
- Si $x = 5$, alors $f(5) = 3 \times 5 – 2 = 13$.
- 13 est l’image de 5.
- 5 est un antécédent de 13.
3. La Fonction Linéaire (Proportionnalité)
La fonction linéaire est la traduction algébrique de la proportionnalité. C’est le modèle mathématique le plus simple et le plus courant.
Une fonction linéaire est une fonction qui multiplie la variable par un nombre constant $a$.
Le nombre $a$ est appelé le coefficient de linéarité (ou coefficient directeur).
Exemples concrets de fonctions linéaires :
- Le prix au kilo : Si des pommes coûtent 3€/kg, le prix $P(x)$ pour $x$ kg est $P(x) = 3x$.
- La vitesse constante : Si je roule à 80 km/h, la distance $d(t)$ parcourue en $t$ heures est $d(t) = 80t$.
- Les pourcentages : Calculer 20% d’un nombre $x$, c’est multiplier $x$ par $0,20$. Soit $f(x) = 0,2x$.
4. Représentation Graphique (Linéaire)
Comment visualiser une fonction linéaire ?
La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du repère (le point O).
Soit $f(x) = 2x$.
- On sait déjà qu’elle passe par l’origine $O(0 ; 0)$.
- Il suffit de trouver un seul autre point.
- On choisit une valeur pour $x$ (par exemple $x=3$).
- On calcule l’image : $f(3) = 2 \times 3 = 6$.
- On place le point $A(3 ; 6)$.
- On trace la droite $(OA)$.
5. Déterminer une Fonction Linéaire
C’est l’exercice inverse : on a un nombre et son image, on cherche la fonction.
Si on connaît un nombre $x$ (non nul) et son image $f(x)$, le coefficient $a$ se calcule par la formule :
Trouver la fonction linéaire $f$ telle que $f(5) = 15$.
- On sait que $f(x) = ax$.
- Donc $a = \frac{f(5)}{5} = \frac{15}{5} = 3$.
- La fonction est $f(x) = 3x$.
6. La Fonction Affine (Généralisation)
La fonction affine est la grande sœur de la fonction linéaire. Elle ajoute un « point de départ ».
Une fonction affine est une fonction de la forme :
Où :
- $a$ est le coefficient directeur (la pente).
- $b$ est l’ordonnée à l’origine (la valeur initiale).
Exemples concrets :
- Abonnement téléphonique : Un forfait à 10€/mois + 0,50€ par minute d’appel.
$P(x) = 0,5x + 10$ (où $x$ est le nombre de minutes). - La température : La conversion degrés Celsius $\rightarrow$ Fahrenheit.
$F(c) = 1,8c + 32$.
7. Représentation Graphique (Affine)
La représentation graphique d’une fonction affine est une droite qui ne passe pas forcément par l’origine.
- Elle coupe l’axe des ordonnées (vertical) au point $(0 ; b)$.
- Sa « pente » est donnée par $a$.
8. Déterminer une Fonction Affine
C’est l’exercice le plus technique du chapitre. On connaît deux nombres et leurs images, on cherche $a$ et $b$.
Soit une fonction affine $f$ telle que $f(x_1) = y_1$ et $f(x_2) = y_2$.
-
Calculer le coefficient $a$ :
$a = \frac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1}$
(Différence des images sur différence des antécédents)
-
Calculer l’ordonnée à l’origine $b$ :
On utilise l’une des deux données. On sait que $y_1 = a \times x_1 + b$.
Donc $b = y_1 – a \times x_1$.
Trouver $f(x)$ sachant que $f(2) = 5$ et $f(4) = 9$.
- Calcul de $a$ :
$a = \frac{f(4) – f(2)}{4 – 2} = \frac{9 – 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
La fonction est de la forme $f(x) = 2x + b$. - Calcul de $b$ :
On utilise $f(2) = 5$.
$5 = 2 \times 2 + b$
$5 = 4 + b$
$b = 5 – 4 = 1$. - Conclusion : $f(x) = 2x + 1$.
9. Cas Particuliers : Constante & Identité
9.1 Fonction Constante ($a = 0$)
Si $f(x) = b$ (exemple $f(x) = 3$), cela signifie que peu importe la valeur de $x$, le résultat est toujours 3.
Graphiquement, c’est une droite horizontale parallèle à l’axe des abscisses.
9.2 Fonction Linéaire ($b = 0$)
Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine où $b = 0$.
Graphiquement, elle passe par l’origine.
10. Lecture Graphique et Interprétation
Savoir lire un graphique est essentiel pour les problèmes de brevets.
- Lire une image : On part de l’axe horizontal ($x$), on monte vers la droite, on lit sur l’axe vertical ($y$).
- Lire un antécédent : On part de l’axe vertical ($y$), on va vers la droite, on lit sur l’axe horizontal ($x$).
- Intersection : Le point d’intersection de deux droites correspond à la valeur de $x$ pour laquelle $f(x) = g(x)$. C’est l’équilibre.
11. Applications Concrètes
Tarif A : 10€ la place.
Tarif B : Carte de 50€ puis 5€ la place.
- On modélise par des fonctions :
$f(x) = 10x$ (Linéaire)
$g(x) = 5x + 50$ (Affine) - On cherche quand les tarifs sont égaux :
$10x = 5x + 50$
$5x = 50 \Rightarrow x = 10$.
Pour 10 places, le prix est le même. - Si on va plus de 10 fois au cinéma, le tarif B (pente plus faible) devient plus avantageux.
12. Synthèse et Pièges
- ⛔ Confusion $x$ et $f(x)$ : « L’image est 3 » signifie $f(x)=3$, pas $f(3)$.
- ⛔ Formule du coefficient $a$ : Inverser la fraction ! C’est $\frac{\text{différence } y}{\text{différence } x}$ (la pente), pas l’inverse.
- ⛔ Tracer une droite : Se tromper en plaçant les points (inversion abscisse/ordonnée).
- ⛔ Signe de $a$ : Dire que la droite « monte » alors que $a$ est négatif.