Objectif : Maîtriser les bases et les carrés parfaits.

1. Calculer mentalement (sans calculatrice) :
   \(A = \sqrt{0}\) ; \(B = \sqrt{1}\) ; \(C = \sqrt{81}\) ; \(D = \sqrt{144}\) ; \(E = \sqrt{121}\).
2. Dire si les affirmations suivantes sont Vraies ou Fausses (justifier brièvement) :
   a) \(\sqrt{-16} = -4\).
   b) \(\sqrt{(-5)^2} = -5\).
   c) \(\sqrt{7}\) est un nombre irrationnel.
3. Calculer : \(F = \sqrt{100} – \sqrt{64}\) et \(G = \sqrt{100 – 64}\). Comparer \(F\) et \(G\).

Objectif : Utiliser \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}\) pour simplifier.

Écrire les nombres suivants sous la forme d’un entier :

• \(H = \sqrt{2} \times \sqrt{50}\)
• \(I = \sqrt{3} \times \sqrt{12}\)
• \(J = \sqrt{5} \times \sqrt{20}\)
• \(K = \sqrt{2} \times \sqrt{3} \times \sqrt{6}\)

Objectif : Utiliser \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\) pour simplifier.

Simplifier les écritures suivantes pour obtenir un entier ou une fraction simple :

• \(L = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}\)
• \(M = \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}\)
• \(N = \sqrt{\frac{9}{16}}\)
• \(P = \frac{\sqrt{500}}{\sqrt{5}}\)

Objectif : Écrire sous la forme \(a\sqrt{b}\) avec \(b\) le plus petit possible.

Simplifier les racines suivantes (détailler les étapes de décomposition) :

1. \(\sqrt{8}\)
2. \(\sqrt{12}\)
3. \(\sqrt{45}\)
4. \(\sqrt{72}\)
5. \(\sqrt{300}\)

Objectif : Réduire des sommes contenant des racines.

Écrire les expressions suivantes sous la forme \(a\sqrt{b}\) :

• \(Q = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} – 7\sqrt{2}\)
• \(R = \sqrt{18} + \sqrt{50} – \sqrt{8}\) (Indice : Tout mettre en \(\sqrt{2}\))
• \(S = 2\sqrt{27} – 3\sqrt{12} + \sqrt{75}\) (Indice : Tout mettre en \(\sqrt{3}\))

Objectif : Calcul littéral avec des racines carrées.

Développer et réduire les expressions suivantes :

• \(A = \sqrt{3}(2 + \sqrt{3})\)
• \(B = (5 – \sqrt{2})(5 + \sqrt{2})\) (Identité remarquable)
• \(C = (\sqrt{5} + 3)^2\)
• \(D = (2\sqrt{3} – 1)^2\)

Objectif : Éliminer la racine simple au dénominateur.

Écrire les nombres suivants sans radical au dénominateur :

• \(X = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
• \(Y = \frac{6}{\sqrt{3}}\)
• \(Z = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\)

Objectif : Utiliser l’expression conjuguée.

Rendre rationnel le dénominateur des expressions suivantes :

• \(E = \frac{1}{1 + \sqrt{2}}\)
• \(F = \frac{4}{3 – \sqrt{5}}\)
• \(G = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} – 1}\)

Objectif : Résoudre des équations du second degré simples.

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

1. \(x^2 = 25\)
2. \(x^2 = 7\)
3. \(x^2 = -16\)
4. \(3x^2 = 27\)
5. \(x^2 – 5 = 0\)

Objectif : Synthèse (Pythagore + Aires).

On considère un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\) tel que \(AB = \sqrt{3} + 1\) et \(AC = \sqrt{3} – 1\).

1. Calculer la longueur \(BC^2\). (Utiliser le théorème de Pythagore et développer).
2. En déduire la longueur \(BC\).
3. Calculer l’aire du triangle \(ABC\). (Le résultat doit être un entier !).