Objectif : Maîtriser la distributivité simple et double avant les identités.

Développer puis réduire les expressions suivantes :

1. \(A = 3(2x – 5)\)
2. \(B = -2x(x + 4)\)
3. \(C = (x + 2)(x + 5)\)
4. \(D = (2x – 3)(4x + 1)\)

Rappel : \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

Développer et réduire :

• \(E = (x + 3)^2\)
• \(F = (2x + 5)^2\)
• \(G = (3a + 1)^2\)
• \(H = (x + \frac{1}{2})^2\)

Rappel : \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)

Développer et réduire :

• \(I = (x – 4)^2\)
• \(J = (5x – 2)^2\)
• \(K = (1 – 3x)^2\)
• \(L = (\sqrt{3} – \sqrt{2})^2\) (Application aux racines)

Rappel : \((a-b)(a+b) = a^2 – b^2\)

Développer et réduire :

• \(M = (x – 2)(x + 2)\)
• \(N = (3x + 4)(3x – 4)\)
• \(P = (7 – 2a)(7 + 2a)\)
• \(Q = (\sqrt{5} – 1)(\sqrt{5} + 1)\)

Objectif : Mélanger les identités et gérer les signes moins devant les parenthèses.

Développer et réduire au maximum :

1. \(R = (x + 3)^2 + (x – 2)^2\)
2. \(S = (2x + 1)^2 – (x – 3)^2\) (Attention au signe moins !)
3. \(T = (3x – 2)(3x + 2) – 4(x – 1)\)

Objectif : Identifier un facteur commun simple ou une parenthèse commune.

Factoriser les expressions suivantes :

• \(U = 5x + 15\)
• \(V = 3x^2 – 9x\)
• \(W = (x + 1)(x + 2) + (x + 1)(3x – 5)\)
• \(X = (2x – 3)^2 + (2x – 3)(x + 4)\)

Objectif : Utiliser \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\). C’est le cas le plus fréquent au Brevet.

Factoriser :

• \(A = x^2 – 16\)
• \(B = 25x^2 – 9\)
• \(C = (x + 3)^2 – 4\) (Ici \(a = x+3\) et \(b = 2\))
• \(D = (2x – 1)^2 – (x + 2)^2\)

Objectif : Reconnaître \(a^2 + 2ab + b^2\) ou \(a^2 – 2ab + b^2\).

Factoriser sous forme d’un carré :

• \(E = x^2 + 6x + 9\)
• \(F = x^2 – 14x + 49\)
• \(G = 4x^2 + 12x + 9\)
• \(H = 9x^2 – 30x + 25\)

Objectif : Utiliser les identités pour calculer sans calculatrice.

1. Calculer \(101^2\) en utilisant \((100 + 1)^2\).
2. Calculer \(99^2\) en utilisant \((100 – 1)^2\).
3. Calculer \(48 \times 52\) en utilisant \((50 – 2)(50 + 2)\).
4. Sachant que \(x – y = 4\) et \(x + y = 10\), calculer \(x^2 – y^2\).

On considère un carré de côté \(x\) (avec \(x > 2\)).

1. Exprimer l’aire \(\mathcal{A}\) de ce carré en fonction de \(x\).
2. On augmente la longueur d’un côté de 2 cm et on diminue la longueur de l’autre côté de 2 cm. On obtient un rectangle.
   a) Quelles sont les dimensions de ce rectangle en fonction de \(x\) ?
   b) Exprimer l’aire \(\mathcal{B}\) de ce rectangle en fonction de \(x\).
3. Montrer que \(\mathcal{A} – \mathcal{B} = 4\).
   Interpréter ce résultat : L’aire a-t-elle augmenté ou diminué ? De combien ?