Objectif : Identifier les triangles et écrire les égalités de quotients.

Pour chaque configuration ci-dessous, écrire l’égalité de Thalès (en supposant les droites parallèles) :

1. Triangle \(ABC\) avec \(M \in [AB]\) et \(N \in [AC]\) tels que \((MN) // (BC)\).
2. Triangle \(IJK\) avec \(R \in [IJ]\) et \(S \in [IK]\) tels que \((RS) // (JK)\).
3. Configuration Papillon : Droites \((AE)\) et \((BD)\) sécantes en \(C\) avec \((AB) // (DE)\).

Objectif : Appliquer le théorème direct.

On considère la figure ci-dessus où \((MN) // (BC)\).

On donne : \(AB = 9 \text{ cm}\), \(AM = 3 \text{ cm}\) et \(BC = 12 \text{ cm}\).

1. Écrire les rapports égaux.
2. Calculer la longueur \(MN\).
3. Si \(AN = 2,5 \text{ cm}\), calculer \(AC\).

Objectif : Maîtriser la configuration croisée.

Les droites \((MK)\) et \((NL)\) sont sécantes en \(O\). Les droites \((MN)\) et \((KL)\) sont parallèles.

On donne :
\(OM = 2 \text{ cm}\) ; \(OK = 5 \text{ cm}\)
\(ON = 3 \text{ cm}\) ; \(KL = 10 \text{ cm}\)

1. Faire un croquis à main levée.
2. Calculer la longueur \(OL\).
3. Calculer la longueur \(MN\).

Objectif : Prouver que deux droites sont parallèles.

Soit un triangle \(EFG\) tel que \(EF = 6 \text{ cm}\) et \(EG = 9 \text{ cm}\).

On place un point \(M\) sur \([EF]\) tel que \(EM = 2 \text{ cm}\).

On place un point \(N\) sur \([EG]\) tel que \(EN = 3 \text{ cm}\).

1. Faire une figure précise.
2. Calculer les rapports \(\frac{EM}{EF}\) et \(\frac{EN}{EG}\).
3. En déduire que les droites \((MN)\) et \((FG)\) sont parallèles.

Objectif : Prouver que deux droites ne sont PAS parallèles.

On considère la configuration papillon suivante :

• Les points \(A, O, B\) sont alignés.
• Les points \(C, O, D\) sont alignés.
• \(OA = 4 \text{ cm}\) ; \(OB = 6 \text{ cm}\).
• \(OC = 5 \text{ cm}\) ; \(OD = 7 \text{ cm}\).

Les droites \((AC)\) et \((BD)\) sont-elles parallèles ? Justifier rigoureusement.

Objectif : Résoudre une équation issue de Thalès.

Dans un triangle \(RST\), \(P \in [RS]\) et \(Q \in [RT]\) avec \((PQ) // (ST)\).

On donne : \(RP = 3\), \(RS = x\), \(RQ = 4\), \(RT = x + 2\).

1. Écrire l’égalité des rapports de Thalès.
2. Montrer que \(x\) vérifie l’équation : \(3(x + 2) = 4x\).
3. Déterminer la valeur de \(x\).

Objectif : Application géométrique (Construction).

Soit un segment \([AB]\) de longueur 7 cm.

1. Sans utiliser les graduations de la règle pour mesurer, expliquer comment placer un point \(M\) sur \([AB]\) tel que \(\frac{AM}{AB} = \frac{2}{5}\).
2. Réaliser la construction.

Objectif : Modéliser une situation réelle.

Un arbre vertical projette une ombre de 15 m au sol. Au même instant, un bâton vertical de 1,20 m projette une ombre de 0,80 m.

1. Faire un schéma modélisant la situation (les rayons du soleil sont parallèles).
2. Calculer la hauteur de l’arbre.

Objectif : Lien entre Thalès et les transformations.

Un triangle \(ABC\) a pour côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm. Le triangle \(A’B’C’\) est un agrandissement de \(ABC\).

1. Sachant que le plus petit côté de \(A’B’C’\) mesure 7,5 cm, déterminer le coefficient d’agrandissement \(k\).
2. Calculer les longueurs des deux autres côtés de \(A’B’C’\).
3. Quelle est la nature du triangle \(ABC\) ? Et celle de \(A’B’C’\) ?

Objectif : Mélanger les théorèmes.

Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) tel que \(AB = 6 \text{ cm}\) et \(AC = 8 \text{ cm}\).

1. Calculer \(BC\).
2. Soit \(M\) un point de \([AB]\) tel que \(AM = 2 \text{ cm}\). La parallèle à \((BC)\) passant par \(M\) coupe \((AC)\) en \(N\).
3. Calculer \(AN\) en utilisant le théorème de Thalès.
4. Calculer \(MN\).
5. Vérifier le résultat de \(MN\) en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle \(AMN\).