Objectif : Utiliser le signe de \(a-b\) pour comparer \(a\) et \(b\).

1. Comparer les nombres \(\frac{7}{5}\) et \(\frac{4}{3}\) en calculant leur différence.
2. Soient \(a\) et \(b\) deux nombres tels que \(a – b = -3\). Comparer \(a\) et \(b\).
3. Soit \(x\) un nombre réel.
   a) Développer \((x – 1)^2\).
   b) Calculer la différence \((x^2 + 1) – 2x\).
   c) En déduire une comparaison entre \(x^2 + 1\) et \(2x\).

Objectif : Comparer les carrés de nombres positifs.

Dans chaque cas, comparer les deux nombres sans calculatrice :

1. \(3\sqrt{2}\) et \(2\sqrt{5}\).
2. \(5\) et \(2\sqrt{7}\).
3. \(4\) et \(\sqrt{15}\).
4. En déduire le signe de \(3\sqrt{2} – 2\sqrt{5}\).

Objectif : Manipuler les inégalités sans se tromper de sens.

Soit \(x\) un nombre réel tel que \(x \geq 3\).

Déterminer, en justifiant, une inégalité pour chacun des nombres suivants :

• \(x + 5\)
• \(x – 7\)
• \(4x\)
• \(-2x\) (Attention au sens !)
• \(\frac{1}{x}\) (Inverse)

Objectif : Encadrer \(x+y\) et \(xy\).

Soient \(x\) et \(y\) deux nombres réels tels que :

\(2 \leq x \leq 5 \quad \text{et} \quad 3 \leq y \leq 4\)

1. Encadrer \(x + y\).
2. Encadrer \(x \times y\).
3. Encadrer \(2x + 3y\).

Objectif : Encadrer \(x-y\).

On reprend les mêmes données : \(2 \leq x \leq 5\) et \(3 \leq y \leq 4\).

1. Encadrer \(-y\).
2. En déduire l’encadrement de \(x – y\) (Rappel : \(x – y = x + (-y)\)).
3. Peut-on dire que \(2 – 3 \leq x – y \leq 5 – 4\) ? Justifier.

Objectif : Encadrer \(\frac{x}{y}\).

Toujours avec : \(2 \leq x \leq 5\) et \(3 \leq y \leq 4\).

1. Encadrer \(\frac{1}{y}\). (Attention au changement d’ordre pour les inverses).
2. En déduire l’encadrement de \(\frac{x}{y}\) (Rappel : \(\frac{x}{y} = x \times \frac{1}{y}\)).

Objectif : Calculer la précision d’un encadrement.

On a trouvé l’encadrement : \(10 \leq A \leq 12,5\).

1. Quelle est l’amplitude de cet encadrement ?
2. Si on sait que \(x\) est une valeur approchée de \(\sqrt{7}\) à \(10^{-2}\) près par défaut, donner l’encadrement de \(x\).

Objectif : Lien entre ordre et racine carrée.

On considère l’expression \(E = \sqrt{(3\sqrt{2} – 5)^2}\).

1. Comparer \(3\sqrt{2}\) et \(5\).
2. Quel est le signe de \(3\sqrt{2} – 5\) ?
3. En déduire une écriture simplifiée de \(E\) sans racine ni carré.

Objectif : Appliquer l’encadrement à une figure.

Un rectangle a une longueur \(L\) et une largeur \(l\) telles que :

\(7 < L < 8 \quad \text{et} \quad 3 < l < 4\)

1. Encadrer le périmètre \(P\) de ce rectangle.
2. Encadrer l’aire \(S\) de ce rectangle.

Objectif : Synthèse et réflexion.

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels strictement positifs.

1. Développer \((\sqrt{a} – \sqrt{b})^2\).
2. En déduire que \(a + b \geq 2\sqrt{ab}\).
3. Application : Montrer que si un rectangle a une aire de 100 cm², son périmètre est au moins de 40 cm.