Objectif : Utiliser la propriété du parallélogramme.

Soient \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) quatre points du plan.

1. Recopier et compléter : « \(\vec{AB} = \vec{CD}\) signifie que le quadrilatère … est un parallélogramme ».
2. Dans chaque cas, dire si les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont égaux (faire un croquis) :
   a) \(ABCD\) est un parallélogramme.
   b) \(ABDC\) est un parallélogramme.
   c) \(C\) est l’image de \(D\) par la translation de vecteur \(\vec{AB}\).

Objectif : Simplifier des sommes de vecteurs sans figure.

Simplifier les expressions suivantes en utilisant la relation de Chasles :

• \(\vec{u} = \vec{AB} + \vec{BC}\)
• \(\vec{v} = \vec{MA} + \vec{AM}\)
• \(\vec{w} = \vec{AB} + \vec{CA} + \vec{BC}\) (Réordonner les termes)
• \(\vec{x} = \vec{AC} – \vec{BC}\) (Transformer la soustraction)

Objectif : Construire l’image par une translation.

Soit \(ABC\) un triangle équilatéral.

1. Construire le point \(E\) image de \(C\) par la translation de vecteur \(\vec{AB}\).
2. Quelle est la nature du quadrilatère \(ABEC\) ?
3. Construire le point \(F\) tel que \(\vec{AF} = \vec{BC}\).

Objectif : Règle du parallélogramme.

Soit \(ABCD\) un parallélogramme de centre \(O\).

Exprimer les sommes suivantes par un seul vecteur :

• \(\vec{AB} + \vec{AD} = \dots\)
• \(\vec{CB} + \vec{CD} = \dots\)
• \(\vec{OA} + \vec{OC} = \dots\) (Attention, O est le milieu)
• \(\vec{AO} + \vec{BO} = \dots\) (Plus difficile)

Objectif : Prouver une égalité vectorielle.

Soient \(A, B, C, D\) quatre points quelconques.

1. Démontrer que : \(\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{AD} + \vec{BC}\).
   (Indice : Intercaler des lettres avec Chasles dans le membre de gauche pour arriver à celui de droite).
2. Démontrer que : \(\vec{AB} – \vec{CD} – \vec{AC} = \vec{DB}\).

Objectif : Caractérisation vectorielle du milieu.

Soit \([AB]\) un segment et \(I\) son milieu.

1. Compléter : \(\vec{AI} = \dots \vec{AB}\) et \(\vec{IA} + \vec{IB} = \dots\)
2. Soit \(M\) un point quelconque du plan. Montrer que \(\vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MI}\).
   (Utiliser Chasles en introduisant I : \(\vec{MA} = \vec{MI} + \vec{IA}\)…)

Objectif : Propriétés de conservation de la translation.

Soit \(C\) un cercle de centre \(O\) et de rayon \(3 \text{ cm}\). Soit \([AB]\) un diamètre de ce cercle.

On considère la translation \(t\) de vecteur \(\vec{AO}\).

1. Quelle est l’image du point \(A\) par la translation \(t\) ?
2. Quelle est l’image du point \(O\) par la translation \(t\) ? (Appelons-le \(O’\)).
3. Quelle est l’image du cercle \(C\) ? (Décrire son centre et son rayon).
4. Les tangentes au cercle en \(A\) et \(B\) sont parallèles. Que dire de leurs images ?

Objectif : Construire une somme de vecteurs.

Soit \(ABC\) un triangle.

1. Construire le point \(M\) tel que \(\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{AC}\).
2. Construire le point \(N\) tel que \(\vec{AN} = \vec{AB} – \vec{AC}\).
3. Montrer que \(A\) est le milieu du segment \([MN]\).

Objectif : Lien avec le parallélisme.

Soit \(ABCD\) un parallélogramme.

On place les points \(E\) et \(F\) tels que \(\vec{AE} = \frac{3}{2}\vec{AB}\) et \(\vec{AF} = 3\vec{AD}\).

1. Faire une figure.
2. Exprimer \(\vec{CE}\) en fonction de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\).
3. Exprimer \(\vec{CF}\) en fonction de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\).
4. Que remarque-t-on entre \(\vec{CE}\) et \(\vec{CF}\) ? Que peut-on dire des points \(C, E, F\) ?

Objectif : Synthèse sans coordonnées.

Soit \(ABC\) un triangle. On construit les points \(I, J, K\) tels que :

• \(I\) est le milieu de \([AB]\).
• \(J\) est le milieu de \([IC]\).
• \(K\) est tel que \(\vec{CK} = \frac{1}{3}\vec{CB}\).

Démontrer que les points \(A, J, K\) sont alignés. (Utiliser la décomposition vectorielle sur \(\vec{AJ}\) et \(\vec{AK}\)).