1. Donner la négation des propositions suivantes :

• \(P_1 : \forall x \in \mathbb{R}, \quad x^2 > 0\)
• \(P_2 : \exists x \in \mathbb{R}, \quad x^2 – 3x + 2 = 0\)
• \(P_3 : \forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}, \quad x + y = 0\)
• \(P_4 : \forall n \in \mathbb{N}, \quad (\text{n est pair}) \Rightarrow (n^2 \text{ est pair})\)

2. Déterminer la valeur de vérité des propositions \(P_1\), \(P_2\) et \(P_3\). Justifier votre réponse.

1. Raisonnement par Contraposée :
Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\) et \(y \in \mathbb{R}\) : \[x \neq y \Rightarrow (x+1)(y-1) \neq (x-1)(y+1)\]

2. Raisonnement par l’Absurde :
Montrer que \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\). (Supposer que \(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\) avec \(p,q\) premiers entre eux…).

3. Raisonnement par Disjonction des Cas :
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(|x – 2| + |x + 1| = 5\).

4. Raisonnement par Récurrence :
Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\) : \[1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}\]

Déterminer l’ensemble de définition \(D_f\) pour chacune des fonctions suivantes :

1. \(f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 – 4}\)
2. \(g(x) = \sqrt{x^2 – 3x + 2}\)
3. \(h(x) = \frac{\sqrt{x}}{x – 1}\)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = x^2 – 4x + 3\).

1. Calculer \(f(2)\). Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f(x) = (x-2)^2 – 1\).
2. Montrer que la fonction \(f\) n’est ni paire ni impaire.
   (Indication : Calculer \(f(-1)\) et comparer avec \(f(1)\) et \(-f(1)\)).
3. Soit \(g\) la fonction définie par \(g(x) = \frac{x}{x^2 + 1}\).
   a) Déterminer \(D_g\).
   b) Étudier la parité de \(g\).

Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(h(x) = x + \frac{1}{x}\).

1. Soient \(a\) et \(b\) deux réels distincts non nuls. Montrer que le taux d’accroissement de \(h\) entre \(a\) et \(b\) est : \[T(a,b) = \frac{ab – 1}{ab}\]
2. Étudier le signe de \(T(a,b)\) sur l’intervalle \(]1 ; +\infty[\). En déduire les variations de \(h\) sur cet intervalle.
3. Étudier les variations de \(h\) sur \(]0 ; 1[\).
4. Dresser le tableau de variations de \(h\) sur \(]0 ; +\infty[\).

On considère la fonction \(k(x) = -x^2 + 4x\).

1. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(k(x) \leq 4\).
2. Existe-t-il une valeur \(x_0\) telle que \(k(x_0) = 4\) ?
3. En déduire que 4 est le maximum absolu de \(k\) sur \(\mathbb{R}\).