Soit \(ABC\) un triangle. On considère le point \(G\) barycentre du système pondéré \(\{(A, 1) ; (B, 2) ; (C, -1)\}\).

1. Montrer que \(\vec{AG} = \vec{AB} – \frac{1}{2}\vec{AC}\).
2. Construire le point \(G\) sur la figure.
3. Soit \(I\) le milieu du segment \([AC]\).
   a) Exprimer \(\vec{BI}\) en fonction de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
   b) Montrer que les points \(B\), \(G\) et \(I\) sont alignés.
   (Indication : Montrer que \(\vec{BG}\) et \(\vec{BI}\) sont colinéaires).

On considère maintenant le point \(H\) barycentre de \(\{(A, 1) ; (B, 2)\}\).

1. Construire le point \(H\). Quelle est sa position sur le segment \([AB]\) ?
2. En utilisant la propriété d’associativité, montrer que \(G\) est le barycentre de \(\{(H, 3) ; (C, -1)\}\).
3. Déterminer et construire l’ensemble \((E)\) des points \(M\) du plan tels que : \[ || \vec{MA} + 2\vec{MB} – \vec{MC} || = || 2\vec{MA} + 4\vec{MB} || \]

Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB = 4\), \(AC = 6\) et \(\widehat{BAC} = \frac{\pi}{3}\).

1. Calculer le produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\).
2. Calculer la longueur \(BC\) en utilisant le théorème d’Al-Kashi.
3. Soit \(I\) le milieu de \([BC]\). Calculer la longueur \(AI\) (Théorème de la médiane).
4. Calculer l’aire du triangle \(ABC\).

Dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\), on considère les points \(A(1, 2)\), \(B(4, -1)\) et \(C(2, 5)\).

1. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
2. Calculer \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\).
3. Calculer les distances \(AB\) et \(AC\).
4. En déduire une mesure de l’angle \(\widehat{BAC}\) (au degré près).
5. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par \(C\) et perpendiculaire à \((AB)\) (Hauteur issue de C).

Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts tels que \(AB = 6\).
Déterminer l’ensemble des points \(M\) tels que \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0\).