1. Donner la négation et la valeur de vérité des propositions suivantes : (2 pts)

• \(P_1 : \exists x \in \mathbb{R}, \quad x^2 + 1 = 0\)
• \(P_2 : \forall n \in \mathbb{N}, \quad \sqrt{n} \in \mathbb{N}\)

2. En utilisant le raisonnement par contraposée, montrer que : (1.5 pts) \[ \forall x, y \in \mathbb{R}^+, \quad x \neq y \Rightarrow \sqrt{x+1} \neq \sqrt{y+1} \]

3. En utilisant le raisonnement par l’absurde, montrer que : (1.5 pts) \[ \forall x \in \mathbb{R}, \quad \frac{x^2 + 1}{2} \neq x \]

4. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation suivante (Disjonction des cas) : (1.5 pts) \[ |2x – 4| \leq 6 \]

5. Montrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : (1.5 pts) \[ 3^n \geq 1 + 2n \]

On considère la fonction \(f\) définie par : \(f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\).

1. Déterminer \(D_f\) le domaine de définition de \(f\). (0.5 pt)
2. Étudier la parité de la fonction \(f\). Interpréter graphiquement le résultat. (1 pt)
3. Montrer que pour tous \(x, y \in D_f\) avec \(x \neq y\) : (1.5 pts) \[ T(x, y) = \frac{f(x) – f(y)}{x – y} = \frac{2(1 – xy)}{(x^2 + 1)(y^2 + 1)} \]
4. En déduire les variations de \(f\) sur les intervalles \([0, 1]\) et \([1, +\infty[\). (1.5 pts)
5. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) (en utilisant la parité). (1 pt)
6. Montrer que 1 est la valeur maximale de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). (1 pt)

Soient \(g\) et \(h\) deux fonctions définies sur \([0, +\infty[\) par \(g(x) = x^2\) et \(h(x) = \sqrt{x}\).

1. Résoudre graphiquement ou algébriquement \(g(x) = h(x)\). (1 pt)
2. Étudier la position relative de \(C_g\) et \(C_h\) sur \([0, +\infty[\). (1 pt)

Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\). On suppose que \(f\) est croissante sur \([0, 2]\) et décroissante sur \([2, 4]\).

Peut-on affirmer que \(f(0) < f(4)\) ? Justifier.