Encyclopédie : Généralités sur les Fonctions (1Bac)

ENCYCLOPÉDIE MATHÉMATIQUE – VERSION ACADÉMIQUE COMPLÈTE

Généralités sur les Fonctions

Analyse & Étude de Variations – Niveau 1ère Bac

Sommaire Détaillé

I. Concepts Fondamentaux
II. L’Ensemble de Définition
III. Égalité de Deux Fonctions
IV. Parité et Symétries
V. Monotonie et Taux d’Accroissement
VI. Extremums d’une Fonction
VII. Fonctions Bornées
VIII. Comparaison de Fonctions
IX. Synthèse et Erreurs Fréquentes

I. Concepts Fondamentaux

Une fonction est l’outil mathématique par excellence pour modéliser une relation de dépendance entre deux grandeurs (le temps et la distance, le prix et la quantité, etc.).

DÉFINITION FORMELLE

Soit $D$ une partie non vide de $\mathbb{R}$.
Définir une fonction $f$ sur $D$, c’est associer à chaque réel $x \in D$ un unique réel noté $f(x)$.

$D$ est l’ensemble de départ.
$x$ est la variable.
$f(x)$ est l’image de $x$ par $f$.
Si $y = f(x)$, on dit que $x$ est un antécédent de $y$.

Représentation Graphique

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

La courbe représentative de $f$, notée $\mathcal{C}_f$, est l’ensemble des points $M(x ; y)$ tels que :

$ x \in D_f \quad \text{et} \quad y = f(x) $

II. L’Ensemble de Définition

C’est la première étape, souvent négligée, de toute étude de fonction. C’est l’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles le calcul de $f(x)$ est possible (« légal »).

RÈGLES DE DÉTERMINATION

Dénominateur : Il ne doit jamais être nul.
Si $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, alors $Q(x) \neq 0$.
Racine Carrée : Le radicande doit être positif ou nul.
Si $f(x) = \sqrt{P(x)}$, alors $P(x) \ge 0$.
Racine au Dénominateur : Le radicande doit être strictement positif.
Si $f(x) = \frac{1}{\sqrt{P(x)}}$, alors $P(x) > 0$.

Exemples Pratiques

$f(x) = \frac{2x+1}{x^2 – 4}$.
Condition : $x^2 – 4 \neq 0 \iff x^2 \neq 4 \iff x \neq 2 \text{ et } x \neq -2$.
$D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2 ; 2\}$.
$g(x) = \sqrt{2x – 6}$.
Condition : $2x – 6 \ge 0 \iff 2x \ge 6 \iff x \ge 3$.
$D_g = [3 ; +\infty[$.

III. Égalité de Deux Fonctions

Deux fonctions $f$ et $g$ sont égales si et seulement si :

Elles ont le même ensemble de définition : $D_f = D_g = D$.
Pour tout $x \in D$, $f(x) = g(x)$.

PIÈGE CLASSIQUE

Soit $f(x) = x$ et $g(x) = \frac{x^2}{x}$.

$D_f = \mathbb{R}$.
$D_g = \mathbb{R}^*$ (car $x \neq 0$).

Les domaines sont différents, donc $f \neq g$, même si la simplification algébrique donne la même chose !

IV. Parité et Symétries

L’étude de la parité permet de réduire le domaine d’étude de moitié.

4.1 Fonction Paire

Une fonction $f$ est paire si :

Pour tout $x \in D_f$, $-x \in D_f$ (Domaine centré en 0).
Pour tout $x \in D_f$, $f(-x) = f(x)$.

Interprétation graphique : La courbe $\mathcal{C}_f$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

4.2 Fonction Impaire

Une fonction $f$ est impaire si :

Pour tout $x \in D_f$, $-x \in D_f$.
Pour tout $x \in D_f$, $f(-x) = -f(x)$.

Interprétation graphique : La courbe $\mathcal{C}_f$ est symétrique par rapport à l’origine O du repère.

V. Monotonie et Taux d’Accroissement

Comment la fonction évolue-t-elle ? Monte-t-elle ou descend-elle ?

5.1 Le Taux d’Accroissement

Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels distincts de $D_f$. Le taux d’accroissement de $f$ entre $x_1$ et $x_2$ est le nombre :

$T(x_1, x_2) = \frac{f(x_1) – f(x_2)}{x_1 – x_2}$

5.2 Variations

THÉORÈME FONDAMENTAL

Soit $I$ un intervalle inclus dans $D_f$.

Si pour tous $x_1, x_2 \in I$, $T \ge 0$, alors $f$ est croissante sur $I$.
Si pour tous $x_1, x_2 \in I$, $T \le 0$, alors $f$ est décroissante sur $I$.
Si $T = 0$, la fonction est constante.

Étude de $f(x) = x^2$ sur $[0 ; +\infty[$

Soient $a \neq b$ dans $[0 ; +\infty[$.

$T = \frac{a^2 – b^2}{a – b} = \frac{(a-b)(a+b)}{a-b} = a + b$.

Comme $a \ge 0$ et $b \ge 0$ (et distincts), alors $a+b > 0$.

Le taux est positif, donc la fonction carré est strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$.

VI. Extremums d’une Fonction

Il est crucial de savoir si une fonction atteint des « pics » ou des « creux ».

MAXIMUM ABSOLU

$M$ est le maximum de $f$ sur $D$ si :

Pour tout $x \in D$, $f(x) \le M$.
Il existe au moins un $x_0 \in D$ tel que $f(x_0) = M$.

MÉTHODE : MONTRER QU’UN NOMBRE EST UN MAX

Pour montrer que $M$ est le maximum :

Calculer la différence $f(x) – M$.
Montrer que cette différence est toujours négative ($\le 0$).
Trouver une valeur $x$ pour laquelle la différence est nulle.

VII. Fonctions Bornées

$f$ est majorée par $M$ si $\forall x \in D_f, f(x) \le M$.
$f$ est minorée par $m$ si $\forall x \in D_f, f(x) \ge m$.
$f$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée (elle est « coincée » entre deux nombres).

Exemple

La fonction sinus, définie par $f(x) = \sin(x)$, est bornée car :

$\forall x \in \mathbb{R}, \quad -1 \le \sin(x) \le 1$.

VIII. Comparaison de Fonctions

On compare souvent deux fonctions pour savoir laquelle est « au-dessus » de l’autre.

On dit que $f \ge g$ sur un intervalle $I$ si pour tout $x \in I$, $f(x) \ge g(x)$.

Graphiquement : La courbe $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_g$.

MÉTHODE : ÉTUDE DE SIGNE

Pour comparer $f$ et $g$, on étudie le signe de la différence :

$d(x) = f(x) – g(x)$

Si $d(x) > 0$, alors $f(x) > g(x)$ ($\mathcal{C}_f$ au-dessus).
Si $d(x) < 0$, alors $f(x) < g(x)$ ($\mathcal{C}_f$ en-dessous).
Si $d(x) = 0$, les courbes se coupent.

IX. Synthèse et Erreurs Fréquentes

LES PIÈGES À ÉVITER

⛔ Confondre monotone et constant : Une fonction monotone est soit croissante, soit décroissante. Elle n’est pas forcément constante !
⛔ Oublier le domaine : Étudier la parité sans vérifier si le domaine est symétrique par rapport à 0 (ex: sur $[-2 ; 3]$, on ne peut pas parler de parité).
⛔ Mélanger les variations : Dire « la courbe monte » n’est pas une preuve mathématique. Il faut calculer le taux d’accroissement ou utiliser les dérivées (futur chapitre).
⛔ Maximum vs Majorant : Un majorant n’est pas forcément atteint. Un maximum EST atteint. (Ex: $f(x) = -x^2$ est majorée par 10, mais son maximum est 0).