ENCYCLOPÉDIE MATHÉMATIQUE – VERSION ACADÉMIQUE COMPLÈTE
Le Barycentre dans le Plan
Géométrie Vectorielle & Pondérée – Niveau 1ère Bac
- I. Introduction et Notion de Poids
- II. Barycentre de Deux Points
- III. Construction et Coordonnées (2 points)
- IV. Barycentre de Trois Points
- V. Propriété Fondamentale et Associativité
- VI. Barycentre de Quatre Points et Plus
- VII. Lignes de Niveau
- VIII. Applications Physiques et Géométriques
- IX. Synthèse et Pièges Classiques
I. Introduction et Notion de Poids
La notion de barycentre a été introduite par Archimède (IIIe siècle av. J.-C.) dans ses études sur l’équilibre des corps. Le mot vient du grec barys (lourd) et kentron (centre). En physique, on parle de centre de gravité ou de centre d’inertie. C’est le point d’équilibre d’un système où des masses sont réparties.
En mathématiques, on généralise cette idée en affectant aux points géométriques des coefficients (ou poids) qui peuvent être positifs ou négatifs.
Un point pondéré est un couple $(A, \alpha)$ où $A$ est un point du plan et $\alpha$ un réel appelé poids ou coefficient.
Un système pondéré est un ensemble de points pondérés : $S = \{(A, \alpha) ; (B, \beta) ; \dots\}$.
II. Barycentre de Deux Points
Soient $(A, \alpha)$ et $(B, \beta)$ deux points pondérés tels que la somme des poids soit non nulle : $\alpha + \beta \neq 0$.
Il existe un unique point $G$ vérifiant l’égalité vectorielle :
Ce point $G$ est appelé le barycentre des points pondérés $(A, \alpha)$ et $(B, \beta)$.
Si $\alpha + \beta = 0$, le barycentre N’EXISTE PAS. Les vecteurs $\alpha \vec{GA}$ et $\beta \vec{GB}$ ne peuvent pas s’annuler car ils sont colinéaires de sens contraire (ou même sens) avec des normes qui ne s’équilibrent pas de manière unique pour former un point fixe indépendant de l’origine.
III. Construction et Coordonnées (2 points)
3.1 Relation de Chasles et Construction
Pour construire $G$, on exprime $\vec{AG}$ en fonction de $\vec{AB}$. On utilise la relation de Chasles dans la définition : $\vec{GB} = \vec{GA} + \vec{AB}$.
\(\alpha \vec{GA} + \beta (\vec{GA} + \vec{AB}) = \vec{0}\)
\((\alpha + \beta) \vec{GA} + \beta \vec{AB} = \vec{0}\)
\((\alpha + \beta) \vec{GA} = – \beta \vec{AB}\)
\(-(\alpha + \beta) \vec{AG} = – \beta \vec{AB}\)
3.2 Propriété d’Homogénéité
Le barycentre ne change pas si l’on multiplie ou divise tous les poids par un même réel non nul $k$.
\(G = \text{Bar}\{(A, \alpha) ; (B, \beta)\} \iff G = \text{Bar}\{(A, k\alpha) ; (B, k\beta)\}\)
3.3 Coordonnées du Barycentre
Dans un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$, si $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$, alors les coordonnées de $G(x_G, y_G)$ sont :
IV. Barycentre de Trois Points
La notion s’étend naturellement à trois points pondérés $(A, \alpha), (B, \beta), (C, \gamma)$ avec $\alpha + \beta + \gamma \neq 0$.
$G$ est l’unique point vérifiant :
Si les poids sont égaux ($\alpha = \beta = \gamma = 1$), $G$ est appelé l’isobarycentre des points A, B et C.
Dans un triangle, c’est le point de concours des médianes (centre de gravité).
On a alors : \(\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}\).
V. Propriété Fondamentale et Associativité
5.1 Propriété Fondamentale (Réduction vectorielle)
Pour tout point $M$ du plan :
Cette formule est extrêmement puissante pour simplifier des sommes vectorielles et trouver des lieux géométriques.
5.2 L’Associativité (Barycentre Partiel)
Cette propriété permet de construire le barycentre de 3 ou 4 points en le ramenant à des barycentres de 2 points.
Pour trouver le barycentre $G$ de $\{(A, \alpha) ; (B, \beta) ; (C, \gamma)\}$, on peut :
- Remplacer deux points, par exemple $(A, \alpha)$ et $(B, \beta)$, par leur barycentre partiel $H$ affecté de la somme de leurs poids $(\alpha + \beta)$. (À condition que $\alpha + \beta \neq 0$).
- $G$ devient alors le barycentre de $\{(H, \alpha + \beta) ; (C, \gamma)\}$.
Soit $G = \text{Bar}\{(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 2)\}$.
- On prend $I = \text{Bar}\{(A, 1) ; (B, 1)\}$. Comme les poids sont égaux, $I$ est le milieu de $[AB]$.
- Le système devient $\{(I, 1+1) ; (C, 2)\} = \{(I, 2) ; (C, 2)\}$.
- $G$ est donc le barycentre de $(I, 2)$ et $(C, 2)$. C’est le milieu de $[IC]$.
VI. Barycentre de Quatre Points et Plus
La définition et les propriétés (homogénéité, associativité, coordonnées) se généralisent à $n$ points pondérés, tant que la somme totale des poids est non nulle.
Le centre de gravité d’un quadrilatère (isobarycentre de ses sommets) est le milieu du segment joignant les milieux des diagonales (ou les milieux des côtés opposés).
VII. Lignes de Niveau
L’utilisation du barycentre permet de résoudre des problèmes de lieux géométriques faisant intervenir des normes.
Déterminer l’ensemble des points $M$ tels que : \( || \vec{MA} + \vec{MB} || = 4 \).
Solution :
- On introduit $G = \text{Bar}\{(A, 1) ; (B, 1)\}$, c’est le milieu de $[AB]$.
- D’après la propriété fondamentale : $\vec{MA} + \vec{MB} = (1+1)\vec{MG} = 2\vec{MG}$.
- L’équation devient : $|| 2\vec{MG} || = 4 \iff 2 MG = 4 \iff MG = 2$.
- L’ensemble cherché est le cercle de centre $G$ (milieu de $[AB]$) et de rayon 2.
VIII. Applications Physiques et Géométriques
- Alignement : Pour montrer que trois points sont alignés, on peut montrer que l’un est le barycentre des deux autres.
- Concours : Pour montrer que des droites sont concourantes, on utilise l’associativité. Par exemple, dans un triangle, les médianes se coupent en G (isobarycentre).
- Physique : Le centre d’inertie d’une plaque homogène triangulaire est l’isobarycentre de ses sommets.
IX. Synthèse et Pièges Classiques
- ⛔ Oublier de vérifier que la somme des poids est non nulle ($\alpha + \beta \neq 0$).
- ⛔ Confondre les coefficients dans la formule vectorielle. C’est $\vec{AG} = \frac{\beta}{\alpha+\beta}\vec{AB}$ (le coefficient $\beta$ du point B est au numérateur, car G est « tiré » vers B proportionnellement à son poids).
- ⛔ Penser que le barycentre est toujours à l’intérieur du segment $[AB]$. Si les poids sont de signes contraires, G est à l’extérieur !