Objectif : Manipuler les indices.

1. Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = \frac{2n – 1}{n + 1}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
   Calculer \(u_0\), \(u_1\) et \(u_{10}\).
2. Soit la suite \((v_n)\) définie par \(v_0 = 2\) et \(v_{n+1} = 2v_n – 3\).
   Calculer \(v_1\), \(v_2\) et \(v_3\).
3. Soit la suite \((w_n)\) définie par \(w_n = 2^n – n\).
   Calculer le 5ème terme de cette suite (Attention à l’indice de départ).

Objectif : Utiliser les formules \(u_n = u_0 + nr\).

Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de raison \(r = 3\) et de premier terme \(u_0 = -2\).

1. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
2. Calculer \(u_{20}\).
3. Déterminer l’entier \(n\) tel que \(u_n = 148\).
4. Calculer la somme \(S = u_0 + u_1 + \dots + u_{20}\).

Objectif : Utiliser les formules \(v_n = v_0 \times q^n\).

Soit \((v_n)\) une suite géométrique de raison \(q = \frac{1}{2}\) et \(v_0 = 16\).

1. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).
2. Calculer \(v_4\) et \(v_8\).
3. Calculer la somme \(S’ = v_0 + v_1 + \dots + v_{10}\). (Donner une valeur approchée).

Objectif : Calculer \(u_{n+1} – u_n\) ou \(u_{n+1}/u_n\).

Pour chacune des suites suivantes, dire si elle est arithmétique, géométrique ou ni l’un ni l’autre :

1. \(u_n = 3n + 5\)
2. \(v_n = 2^n + 1\)
3. \(w_n = 3 \times 5^n\)
4. \(t_n = n^2\)

Objectif : Étudier le signe de \(u_{n+1} – u_n\).

1. Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = n^2 + n\).
2. Étudier la monotonie de la suite \((v_n)\) définie par \(v_n = \frac{2n + 1}{n + 3}\) (\(n \in \mathbb{N}\)).
3. Soit \((w_n)\) définie par \(w_0 = 1\) et \(w_{n+1} = w_n + n + 1\).
   Étudier la monotonie de \((w_n)\).

Objectif : Modélisation.

Une ville compte 50 000 habitants en 2020. Chaque année, la population augmente de 2%.

1. On note \(P_n\) la population en l’année \(2020 + n\). Donner \(P_0\).
2. Justifier que \(P_{n+1} = 1,02 P_n\). Quelle est la nature de la suite ?
3. Exprimer \(P_n\) en fonction de \(n\).
4. Estimer la population de la ville en 2030.

Objectif : Utiliser une suite auxiliaire.

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 4\) et \(u_{n+1} = 2u_n – 3\).

On pose \(v_n = u_n – 3\).

1. Calculer \(v_0\).
2. Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison 2.
3. Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).
4. Calculer la limite de \((u_n)\) quand \(n \to +\infty\).

Objectif : Manipuler le symbole \(\Sigma\).

1. Calculer la somme des entiers de 1 à 100 : \(S_1 = 1 + 2 + \dots + 100\).
2. Calculer la somme des entiers impairs inférieurs à 100 : \(S_2 = 1 + 3 + 5 + \dots + 99\).
   (Indice : C’est une suite arithmétique de raison 2. Combien y a-t-il de termes ?).
3. Calculer \(S_3 = 1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 1024\) (Puissances de 2).

Objectif : Utiliser la récurrence pour majorer/minorer.

Soit la suite définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}\).

1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
2. Montrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(0 \leq u_n \leq 2\).
3. Montrer que la suite est croissante. (Comparer \(u_{n+1}^2 – u_n^2\) ou étudier la fonction \(f(x) = \sqrt{x+2}\)).
4. La suite est-elle convergente ?

Objectif : Comparer deux types de croissance.

On place un capital \(C_0 = 10 \ 000\) DH.

• Offre A : Intérêts simples de 5% par an (le montant ajouté est constant, calculé sur \(C_0\)).
• Offre B : Intérêts composés de 4% par an (le montant ajouté est calculé sur le capital de l’année précédente).

1. Exprimer le capital \(A_n\) et \(B_n\) après \(n\) années pour chaque offre.
2. Calculer les capitaux après 10 ans. Quelle est l’offre la plus avantageuse ?
3. À l’aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien d’années l’offre B dépasse l’offre A.