Objectif : Maîtriser le cercle trigonométrique.

1. Placer sur un cercle trigonométrique les points associés aux réels :
   \(\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{2}\).
2. Sans calculatrice, donner la valeur exacte de :
   \(\cos(\frac{2\pi}{3})\), \(\sin(-\frac{\pi}{4})\), \(\tan(\frac{5\pi}{6})\).
3. Simplifier : \(A = \cos(x + 5\pi) + \sin(\frac{\pi}{2} – x) – \cos(x – \pi)\).

Objectif : Utiliser \(\cos(a+b)\) et \(\sin(a+b)\).

1. En remarquant que \(\frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\), calculer la valeur exacte de \(\cos(\frac{7\pi}{12})\) et \(\sin(\frac{7\pi}{12})\).
2. Sachant que \(\cos(a) = \frac{3}{5}\) et \(a \in [0, \frac{\pi}{2}]\), calculer \(\sin(a)\), \(\cos(2a)\) et \(\sin(2a)\).

Objectif : Transformer sommes en produits et inversement.

Simplifier les expressions suivantes :

• \(B = \cos(x) + \cos(x + \frac{2\pi}{3}) + \cos(x + \frac{4\pi}{3})\)
• \(C = \frac{\sin(3x)}{\sin(x)} – \frac{\cos(3x)}{\cos(x)}\) (pour \(x \not\equiv 0 [\frac{\pi}{2}]\))
• \(D = \cos^2(x) \sin^2(x)\) (Linéariser cette expression en fonction de \(\cos(4x)\)).

Objectif : Résoudre \(\cos x = a\), \(\sin x = b\), \(\tan x = c\).

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) puis dans \([-\pi, \pi]\) les équations suivantes :

1. \(2\cos(x) + 1 = 0\)
2. \(\sqrt{2}\sin(x) – 1 = 0\)
3. \(\tan(x) = -\sqrt{3}\)
4. \(\cos(2x) = \sin(x)\) (Utiliser \(\sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2}-x)\))

Objectif : Utiliser la transformation de l’amplitude.

On considère l’équation \((E) : \sqrt{3}\cos(x) – \sin(x) = \sqrt{2}\).

1. Montrer que \(\sqrt{3}\cos(x) – \sin(x) = 2\cos(x + \frac{\pi}{6})\).
2. Résoudre l’équation \((E)\) dans \(\mathbb{R}\).
3. Représenter les solutions sur un cercle trigonométrique.

Objectif : Changement de variable.

Résoudre dans \([0, 2\pi]\) les équations suivantes :

1. \(2\cos^2(x) – 3\cos(x) + 1 = 0\) (Poser \(X = \cos(x)\)).
2. \(\tan^2(x) – (1+\sqrt{3})\tan(x) + \sqrt{3} = 0\).

Objectif : Lire les solutions sur le cercle.

Résoudre dans l’intervalle \(]-\pi, \pi]\) les inéquations suivantes :

• \(\cos(x) \geq -\frac{1}{2}\)
• \(\sin(x) < \frac{\sqrt{3}}{2}\)
• \(\tan(x) \geq 1\)
• \(2\cos^2(x) – 1 > 0\)

Objectif : Appliquer la trigonométrie à la géométrie plane.

Soit \(ABC\) un triangle isocèle en \(A\) tel que \(AB = AC = a\) et \(\widehat{BAC} = \alpha\).

1. Exprimer l’aire du triangle \(ABC\) en fonction de \(a\) et \(\alpha\). (Formule \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\)).
2. Pour quelle valeur de \(\alpha\) cette aire est-elle maximale ?
3. Calculer \(BC^2\) en fonction de \(a\) et \(\alpha\) (Al-Kashi).

Objectif : Démontrer des égalités.

Démontrer les égalités suivantes (pour les valeurs où elles sont définies) :

• \(\frac{1 – \cos(2x)}{\sin(2x)} = \tan(x)\)
• \(\cos^4(x) – \sin^4(x) = \cos(2x)\)
• \(\tan(x) + \frac{1}{\tan(x)} = \frac{2}{\sin(2x)}\)

Objectif : Sommes trigonométriques.

On pose \(S = \cos(\frac{\pi}{5}) + \cos(\frac{3\pi}{5})\).

1. Montrer que \(\cos(\frac{2\pi}{5}) + \cos(\frac{3\pi}{5}) = 0\) et \(\cos(\frac{4\pi}{5}) + \cos(\frac{\pi}{5}) = 0\).
2. Calculer la valeur de \(S\) en utilisant la formule \(2\cos(a)\sin(b) = \sin(a+b) – \sin(a-b)\) en multipliant S par \(\sin(\frac{\pi}{5})\).