ENCYCLOPÉDIE MATHÉMATIQUE – VERSION ACADÉMIQUE COMPLÈTE
Les Suites Numériques
Analyse Discrète – Niveau 1ère Bac
I. Généralités sur les Suites
Une suite numérique est une fonction définie sur une partie de $\mathbb{N}$ (l’ensemble des entiers naturels) à valeurs dans $\mathbb{R}$.
Au lieu de noter $u(n)$, on note généralement $u_n$ le terme d’indice $n$.
La suite elle-même est notée $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou simplement $(u_n)$.
Soit la suite des nombres pairs : $0, 2, 4, 6, 8, \dots$
- $u_0 = 0$ (Premier terme).
- $u_1 = 2$.
- $u_4 = 8$.
- Formule générale : $u_n = 2n$.
II. Modes de Génération
Il existe deux manières principales de définir une suite :
2.1 Formule Explicite
$u_n$ est exprimé directement en fonction de $n$. On peut calculer n’importe quel terme immédiatement.
Exemple : $u_n = n^2 + 1$. Pour avoir $u_{10}$, je fais $10^2 + 1 = 101$.
2.2 Relation de Récurrence
On donne le premier terme et une formule pour passer d’un terme au suivant.
Exemple : $\begin{cases} u_0 = 2 \\ u_{n+1} = 2u_n + 1 \end{cases}$. Pour avoir $u_{10}$, il faut calculer $u_1, u_2, \dots, u_9$.
III. Monotonie d’une Suite
Étudier la monotonie (sens de variation) d’une suite revient à comparer deux termes consécutifs $u_{n+1}$ et $u_n$.
On calcule la différence $D = u_{n+1} – u_n$.
- Si $u_{n+1} – u_n \ge 0$ pour tout $n$, la suite est croissante.
- Si $u_{n+1} – u_n \le 0$ pour tout $n$, la suite est décroissante.
- Si $u_{n+1} – u_n = 0$, la suite est constante.
Si tous les termes sont strictement positifs, on peut calculer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$.
- Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1$, la suite est croissante.
- Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \le 1$, la suite est décroissante.
IV. Suites Arithmétiques
C’est le modèle de l’ajout constant (linéaire).
Une suite $(u_n)$ est arithmétique s’il existe un nombre réel $r$, appelé raison, tel que pour tout $n$ :
- En fonction de $u_0$ : $u_n = u_0 + nr$.
- En fonction de $u_p$ (pour $p \le n$) : $u_n = u_p + (n-p)r$.
Trois nombres $a, b, c$ sont en progression arithmétique si et seulement si :
(Le terme du milieu est la moyenne arithmétique des deux autres).
V. Suites Géométriques
C’est le modèle de la multiplication constante (exponentielle).
Une suite $(v_n)$ est géométrique s’il existe un nombre réel $q$, appelé raison, tel que pour tout $n$ :
- En fonction de $v_0$ : $v_n = v_0 \times q^n$.
- En fonction de $v_p$ : $v_n = v_p \times q^{n-p}$.
Trois nombres positifs $a, b, c$ sont en progression géométrique si et seulement si :
VI. Sommes de Termes Consécutifs
Savoir calculer $S = u_0 + u_1 + \dots + u_n$ est indispensable.
6.1 Somme Arithmétique
$\text{Somme} = \text{Nombre de termes} \times \frac{\text{Premier terme} + \text{Dernier terme}}{2}$
Cas particulier : $1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$.
6.2 Somme Géométrique (pour $q \neq 1$)
$\text{Somme} = \text{Premier terme} \times \frac{1 – q^{\text{Nombre de termes}}}{1 – q}$
Cas particulier : $1 + q + q^2 + \dots + q^n = \frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}$.
VII. Convergence et Limite (Aperçu)
Bien que l’étude formelle des limites se fasse plus tard, on introduit l’intuition :
- Si $u_n$ se rapproche d’un nombre $L$ quand $n$ devient très grand, la suite converge vers $L$.
- Pour une suite géométrique $v_n = v_0 \times q^n$ :
- Si $-1 < q < 1$, alors $v_n$ tend vers 0.
- Si $q > 1$ (et $v_0 > 0$), alors $v_n$ tend vers $+\infty$.
VIII. Applications Concrètes
8.1 Intérêts Simples et Composés
- Intérêts simples : On gagne toujours la même somme. C’est une suite arithmétique.
$C_{n+1} = C_n + r$. - Intérêts composés : On gagne un pourcentage du capital actuel. C’est une suite géométrique.
$C_{n+1} = C_n \times (1 + \frac{t}{100})$. La raison est $q = 1 + \frac{t}{100}$.
IX. Synthèse et Erreurs Fréquentes
- ⛔ Nombre de termes : De $u_0$ à $u_n$, il y a $n+1$ termes, pas $n$. De $u_p$ à $u_n$, il y a $n – p + 1$ termes.
- ⛔ Confusion indice/terme : $u_n$ est le terme, $n$ est l’indice. $u_{n+1}$ n’est pas $u_n + 1$.
- ⛔ Raison géométrique : Pour une augmentation de 5%, la raison est $1,05$ (pas $0,05$).