1. Calculer la fonction dérivée \(f'(x)\) pour chacune des fonctions suivantes sur leur domaine de dérivabilité : (3 pts)

• \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 – 2x^2 + 4x – 5\)
• \(g(x) = \frac{2x – 3}{x + 1}\)
• \(h(x) = \sqrt{2x^2 + 1}\)
• \(k(x) = (x^2 – 1)^4\)

2. Soit \(u\) la fonction définie sur \([0 ; \pi]\) par \(u(x) = \sin^2(x) + \cos(x)\).
Calculer \(u'(x)\) et montrer que \(u'(x) = \sin(x)(2\cos(x) – 1)\). (1.5 pts)

3. Déterminer l’équation de la tangente \((T)\) à la courbe de la fonction \(f(x) = x^2 – 3x\) au point d’abscisse \(x_0 = 2\). (1.5 pts)

On considère la fonction numérique \(f\) définie par : \[ f(x) = \frac{x^2 – 2x – 3}{x – 2} \] Soit \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).

1. Domaine et Limites :
   a) Déterminer \(D_f\) le domaine de définition de \(f\). (0.5 pt)
   b) Calculer les limites aux bornes de \(D_f\) (en \(-\infty\), \(+\infty\), \(2^-\), \(2^+\)). (2 pts)
   c) En déduire l’existence d’une asymptote verticale dont on précisera l’équation. (0.5 pt)
2. Dérivée et Variations :
   a) Montrer que pour tout \(x \in D_f\) : \(f'(x) = \frac{x^2 – 4x + 7}{(x – 2)^2}\). (1.5 pts)
   b) Étudier le signe de \(x^2 – 4x + 7\) (calculer le discriminant \(\Delta\)). (1 pt)
   c) En déduire le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations complet de \(f\). (1.5 pts)
3. Asymptote Oblique :
   a) Montrer que pour tout \(x \in D_f\) : \(f(x) = x + \frac{-3}{x – 2}\). (1 pt)
   b) En déduire que la droite \((\Delta)\) d’équation \(y = x\) est une asymptote oblique à \((C_f)\) au voisinage de \(\pm\infty\). (1 pt)
   c) Étudier la position relative de \((C_f)\) par rapport à \((\Delta)\). (1 pt)
4. Intersection et Construction :
   a) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de \((C_f)\) avec les axes du repère. (1.5 pts)
   b) Montrer que le point \(\Omega(2 ; 2)\) est un centre de symétrie de la courbe \((C_f)\). (1 pt)
   c) Construire la droite \((\Delta)\), l’asymptote verticale et la courbe \((C_f)\) dans le repère. (1.5 pts) (Faire un schéma soigné).

Soit \(g\) la fonction définie par \(g(x) = |x^2 – 1|\).

Étudier la dérivabilité de \(g\) en \(x_0 = 1\). (Calculer la limite du taux d’accroissement à droite et à gauche). Que représente graphiquement le point d’abscisse 1 ?