Objectif : Intuition visuelle des limites.

On donne ci-dessus la courbe d’une fonction \(f\). Déterminer graphiquement :

1. \(\lim_{x \to -\infty} f(x)\) et \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\).
2. \(\lim_{x \to 1^-} f(x)\) et \(\lim_{x \to 1^+} f(x)\).
3. Quelles sont les équations des asymptotes ?

Objectif : Règle du plus haut degré.

Calculer les limites suivantes :

• \(\lim_{x \to +\infty} (-3x^4 + 2x^2 – 5)\)
• \(\lim_{x \to -\infty} (5x^3 – x + 1)\)
• \(\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 – 3}{x^2 + 5}\)
• \(\lim_{x \to -\infty} \frac{x + 1}{x^2 – 4}\)
• \(\lim_{x \to 2} (x^2 – 5x + 1)\) (Limite finie)

Objectif : Lever l’indétermination en un point.

Calculer les limites suivantes :

1. \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 – 1}{x – 1}\)
2. \(\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + 4x + 4}{x + 2}\)
3. \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 – 2x – 3}{x^2 – 9}\) (Factoriser numérateur et dénominateur)
4. \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 – 1}{x – 1}\) (Rappel : \(a^3 – b^3\))

Objectif : Utiliser \((a-b)(a+b) = a^2 – b^2\).

Calculer :

• \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} – 1}{x}\)
• \(\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} – 2}{x – 4}\)
• \(\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 1} – x)\) (Attention : C’est une forme \(\infty – \infty\))

Objectif : Utiliser \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\).

Calculer les limites suivantes en 0 :

1. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\)
2. \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{5x}\)
3. \(\lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x^2}\)
4. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{\sin(5x)}\)

Objectif : Étudier la limite quand le dénominateur s’annule.

Calculer les limites suivantes :

• \(\lim_{x \to 2^+} \frac{3}{x – 2}\) et \(\lim_{x \to 2^-} \frac{3}{x – 2}\)
• \(\lim_{x \to 1} \frac{2x + 1}{(x – 1)^2}\)
• \(\lim_{x \to -3^+} \frac{x + 1}{x^2 – 9}\) (Étudier le signe de \(x^2 – 9\))

Objectif : Séparer les cas.

Soit \(f(x) = \frac{|x – 2|}{x^2 – 4}\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).
2. Calculer \(\lim_{x \to 2^+} f(x)\). (Si \(x > 2\), \(|x-2| = x-2\)).
3. Calculer \(\lim_{x \to 2^-} f(x)\).
4. La fonction \(f\) admet-elle une limite en 2 ?

Objectif : Encadrer pour conclure.

1. On sait que pour tout \(x > 0\), \(\frac{1}{x} \le f(x) \le \frac{x+1}{x^2}\).
   Calculer \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\).
2. Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}\). (Utiliser \(-1 \le \sin x \le 1\)).
3. Calculer \(\lim_{x \to -\infty} x^2(2 + \cos x)\). (Comparaison).

Objectif : Assurer la continuité en un point.

Soit \(f\) la fonction définie par : \[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + x – 6}{x – 2} & \text{si } x \neq 2 \\ a & \text{si } x = 2 \end{cases} \]

1. Calculer \(\lim_{x \to 2} f(x)\).
2. Déterminer la valeur du réel \(a\) pour que \(f\) soit continue en 2.

Objectif : Déterminer les asymptotes d’une courbe.

Soit \(g(x) = \frac{2x^2 – x + 1}{x – 1}\).

1. Déterminer \(D_g\).
2. Calculer \(\lim_{x \to 1} g(x)\). En déduire une asymptote.
3. Calculer \(\lim_{x \to \infty} g(x)\).
4. Montrer que \(g(x)\) peut s’écrire \(2x + 1 + \frac{2}{x-1}\).
5. En déduire l’équation de l’asymptote oblique en \(\pm\infty\).