Objectif : Calcul analytique simple.

Dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on donne les points :
\(A(1, -2, 3)\), \(B(0, 4, 1)\) et \(C(2, 0, 5)\).

1. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
2. Calculer le produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\).
3. En déduire que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).
4. Calculer l’aire du triangle \(ABC\).

Objectif : Utiliser un vecteur normal.

On considère le point \(A(2, 1, -1)\) et le vecteur \(\vec{n}(1, -2, 3)\).

1. Déterminer une équation cartésienne du plan \((P)\) passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec{n}\).
2. Le point \(B(0, 5, 1)\) appartient-il au plan \((P)\) ?
3. Déterminer l’équation du plan \((Q)\) passant par l’origine \(O\) et parallèle à \((P)\).

Objectif : Reconnaitre une sphère.

On considère l’ensemble \((S)\) des points \(M(x, y, z)\) tels que : \[ x^2 + y^2 + z^2 – 4x + 2y – 6z + 5 = 0 \]

1. Mettre l’équation sous la forme canonique : \((x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2\).
2. En déduire que \((S)\) est une sphère dont on précisera le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\).
3. Vérifier que le point \(A(4, -1, 4)\) appartient à la sphère \((S)\).

Objectif : Utiliser \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0\).

Soient \(A(-2, 1, 0)\) et \(B(4, 3, -2)\).

1. Déterminer l’équation cartésienne de la sphère \((S)\) de diamètre \([AB]\).
   (Méthode 1 : Centre = milieu de [AB], Rayon = AB/2).
   (Méthode 2 : Produit scalaire).
2. Déterminer l’intersection de la sphère \((S)\) avec l’axe des cotes \((Oz)\).

Objectif : Appliquer la formule de distance.

Soit \((P)\) le plan d’équation \(2x – y + 2z – 9 = 0\).

1. Donner un vecteur normal au plan \((P)\).
2. Calculer la distance du point \(O(0, 0, 0)\) au plan \((P)\).
3. Calculer la distance du point \(A(1, 1, 1)\) au plan \((P)\).
4. Que peut-on dire de la position du point \(A\) par rapport au plan ?

Objectif : Étude de position relative.

Soit \((S)\) la sphère de centre \(\Omega(1, -1, 2)\) et de rayon \(R = 3\).

Soit \((P)\) le plan d’équation \(x + 2y – 2z + 4 = 0\).

1. Calculer la distance \(d(\Omega, P)\).
2. Comparer \(d\) et \(R\). En déduire la position relative de \((S)\) et \((P)\).
3. Déterminer les caractéristiques de l’intersection (Cercle : rayon \(r\) et centre \(H\)).
   (Le calcul des coordonnées de H n’est pas toujours demandé, se concentrer sur le rayon \(r = \sqrt{R^2 – d^2}\)).

Objectif : Ensemble de points équidistants.

Soient \(A(1, 2, 3)\) et \(B(3, 0, -1)\).

1. Déterminer l’ensemble des points \(M\) de l’espace tels que \(MA = MB\). Que représente cet ensemble géométriquement ?
2. Trouver une équation cartésienne de ce plan.
3. Vérifier que le milieu \(I\) de \([AB]\) appartient à ce plan.

Objectif : Utiliser le produit scalaire.

On considère un cube \(ABCDEFGH\) d’arête 1. On se place dans le repère \((A, \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\).

1. Donner les coordonnées des sommets \(B, D, E, G, H\).
2. Montrer que les vecteurs \(\vec{EB}\) et \(\vec{EG}\) ne sont pas orthogonaux.
3. Montrer que la droite \((FD)\) est orthogonale au plan \((ACH)\). (Montrer que \(\vec{FD}\) est orthogonal à \(\vec{AC}\) et \(\vec{AH}\)).

Objectif : Comprendre qu’une droite est l’intersection de deux plans.

On considère les plans \((P) : x + y – z = 0\) et \((Q) : 2x – y + 3z – 5 = 0\).

1. Montrer que les vecteurs normaux \(\vec{n_P}\) et \(\vec{n_Q}\) ne sont pas colinéaires. Qu’en déduit-on ?
2. Trouver un point \(A\) appartenant à l’intersection \((D) = (P) \cap (Q)\) (en posant par exemple \(z=0\)).
3. Déterminer un vecteur directeur \(\vec{u}\) de la droite \((D)\) (orthogonal à \(\vec{n_P}\) et \(\vec{n_Q}\), ou produit vectoriel si vu).

Objectif : Tangence Plan/Sphère.

Soit \((S)\) la sphère de centre \(\Omega(2, 0, 1)\) et de rayon \(\sqrt{6}\).

Soit le plan \((P_m)\) d’équation : \(x – y + 2z + m = 0\), où \(m\) est un paramètre réel.

1. Calculer la distance \(d(\Omega, P_m)\) en fonction de \(m\).
2. Pour quelles valeurs de \(m\) le plan \((P_m)\) est-il tangent à la sphère \((S)\) ?
3. Pour \(m = 0\), déterminer l’intersection de \((S)\) et \((P_0)\).