La Rotation dans le Plan (1Bac) cours 1ère Année Bac Sc. Expérimentales

Encyclopédie : La Rotation dans le Plan (1Bac)

LE MANUEL MAGISTRAL – RÉFÉRENCE ABSOLUE

La Rotation dans le Plan

Transformations Géométriques & Isométries – Niveau 1ère Bac

Plan Détaillé de l’Ouvrage

I. Préambule : L’Esprit des Transformations

Le Programme d’Erlangen

En 1872, le mathématicien allemand Felix Klein propose une nouvelle vision révolutionnaire de la géométrie, connue sous le nom de « Programme d’Erlangen ». Selon lui, la géométrie est l’étude des propriétés des figures qui restent invariantes par un groupe de transformations.

La rotation est l’une de ces transformations fondamentales. Elle appartient à la famille des isométries (du grec iso = égal et metron = mesure). Elle déplace les figures sans les déformer, en les faisant « tourner » autour d’un pivot.

Contrairement à la translation qui « glisse » et à la symétrie axiale qui « retourne » (comme un miroir), la rotation conserve l’orientation du plan tout en changeant la direction des vecteurs. C’est l’outil privilégié pour étudier les mouvements circulaires en physique et les motifs périodiques (rosaces, cristaux) en art et en nature.

II. Outils Préliminaires : Angles Orientés

Avant de définir la rotation, il est impératif de maîtriser la notion d’angle orienté de vecteurs, car une rotation est définie par un angle algébrique (signé).

LE SENS DIRECT ET INDIRECT

Le plan est orienté.

  • Sens Direct (Trigonométrique) : Sens inverse des aiguilles d’une montre. Signe positif (+).
  • Sens Indirect (Horaire) : Sens des aiguilles d’une montre. Signe négatif (-).
MESURE D’UN ANGLE ORIENTÉ

L’angle orienté de deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est noté $(\vec{u}, \vec{v})$.

Si $\alpha$ est une mesure de cet angle en radians, alors toutes les mesures sont de la forme $\alpha + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$.

\((\vec{u}, \vec{v}) \equiv \alpha \ [2\pi]\)

III. Définition Formelle de la Rotation

DÉFINITION RIGOUREUSE

Soit $\Omega$ un point fixe du plan et $\theta$ un nombre réel (l’angle en radians).

La rotation de centre $\Omega$ et d’angle $\theta$, notée $r(\Omega, \theta)$, est l’application du plan dans lui-même qui :

  1. Laisse le point $\Omega$ invariant : $r(\Omega) = \Omega$.
  2. Transforme tout point $M \neq \Omega$ en un point $M’$ tel que :
    • Conservation de la distance : $\Omega M = \Omega M’$ (M et M’ sont sur le même cercle de centre $\Omega$).
    • Angle imposé : L’angle orienté de vecteurs $(\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M’}) \equiv \theta \ [2\pi]$.
Ω M M’ θ

Figure 1 : Rotation d’angle $\theta > 0$. Le mouvement se fait dans le sens direct.

CAS PARTICULIERS
  • Si $\theta \equiv 0 [2\pi]$, la rotation est l’identité (tout point est invariant).
  • Si $\theta \equiv \pi [2\pi]$, la rotation est la symétrie centrale de centre $\Omega$.
    En effet, $\vec{\Omega M’} = -\vec{\Omega M}$, donc $\Omega$ est le milieu de $[MM’]$.

IV. Propriétés Fondamentales (Démonstrations)

La puissance de la rotation réside dans ce qu’elle conserve.

4.1 La Rotation est une Isométrie

CONSERVATION DES DISTANCES

Pour tous points $A$ et $B$ d’images respectives $A’$ et $B’$ par une rotation $r$ :

\(A’B’ = AB\)

Démonstration :
Les triangles $\Omega AB$ et $\Omega A’B’$ sont isométriques. En effet :
1. $\Omega A = \Omega A’$ (définition).
2. $\Omega B = \Omega B’$ (définition).
3. $(\vec{\Omega A}, \vec{\Omega B}) \equiv (\vec{\Omega A}, \vec{\Omega A’}) + (\vec{\Omega A’}, \vec{\Omega B’}) + (\vec{\Omega B’}, \vec{\Omega B}) [2\pi]$.
Or, $(\vec{\Omega A}, \vec{\Omega A’}) \equiv \theta$ et $(\vec{\Omega B}, \vec{\Omega B’}) \equiv \theta$.
L’angle géométrique $\widehat{A\Omega B}$ est égal à $\widehat{A’\Omega B’}$.
D’après le cas d’isométrie (C-A-C), les triangles sont isométriques, donc $AB = A’B’$. CQFD.

4.2 Conservation des Angles Orientés

L’image d’un angle orienté de vecteurs $(\vec{AB}, \vec{AC})$ est un angle orienté de même mesure $(\vec{A’B’}, \vec{A’C’})$.

\((\vec{A’B’}, \vec{A’C’}) \equiv (\vec{AB}, \vec{AC}) \ [2\pi]\)

4.3 Conservation du Barycentre

La rotation conserve le barycentre. Si $G$ est le barycentre de $\{(A, \alpha) ; (B, \beta)\}$, alors $G’ = r(G)$ est le barycentre de $\{(A’, \alpha) ; (B’, \beta)\}$.

Conséquence : L’image du milieu d’un segment est le milieu du segment image.

4.4 Conservation de l’Alignement et du Contact

  • L’image de trois points alignés sont trois points alignés.
  • L’image d’une droite est une droite.
  • Si deux figures sont tangentes, leurs images sont tangentes.

V. Images de Figures Usuelles

MÉTHODOLOGIE DE CONSTRUCTION
  • Image d’une Droite : Il suffit de construire les images de deux points de la droite.
    Propriété clé : L’angle entre la droite $(D)$ et son image $(D’)$ est égal à l’angle de rotation $\theta$ (modulo $\pi$).
  • Image d’un Segment $[AB]$ : C’est le segment $[A’B’]$ de même longueur.
  • Image d’un Cercle : L’image du cercle $\mathcal{C}(O, R)$ est le cercle $\mathcal{C}'(O’, R)$ de même rayon $R$, centré sur l’image du centre.
Ω (D) (D’) Angle entre (D) et (D’) = θ

VI. Composition de Rotations

Que se passe-t-il si on applique deux rotations à la suite ?

6.1 Même Centre

La composée de deux rotations de même centre $\Omega$ et d’angles $\theta$ et $\theta’$ est une rotation de centre $\Omega$ et d’angle $\theta + \theta’$.

\(r(\Omega, \theta’) \circ r(\Omega, \theta) = r(\Omega, \theta + \theta’)\)

6.2 Centres Différents (Hors Programme Standard, pour l’Excellence)

La composée de deux rotations de centres différents $r_1(\Omega_1, \theta_1)$ et $r_2(\Omega_2, \theta_2)$ est :

  • Une rotation d’angle $\theta_1 + \theta_2$ si $\theta_1 + \theta_2 \not\equiv 0 [2\pi]$.
  • Une translation si $\theta_1 + \theta_2 \equiv 0 [2\pi]$.

VII. Expression Analytique et Complexe

Pour les calculs de coordonnées, l’outil le plus puissant est les nombres complexes (chapitre à venir, mais voici l’anticipation géométrique).

FORMULE COMPLEXE

Dans le plan complexe, si $z$ est l’affixe de $M$, $z’$ l’affixe de $M’$ et $\omega$ l’affixe du centre $\Omega$, alors la rotation d’angle $\theta$ se traduit par :

\(z’ – \omega = e^{i\theta} (z – \omega)\)
FORMULE ANALYTIQUE (COORDONNÉES)

Sans les complexes, si $\Omega(0,0)$ (origine), alors :

\(\begin{cases} x’ = x \cos \theta – y \sin \theta \\ y’ = x \sin \theta + y \cos \theta \end{cases}\)

Si le centre est $\Omega(a, b)$, on fait un changement de repère : $X = x-a, Y = y-b$.

VIII. Applications : Problèmes de Lieu et Construction

Problème du Point de Fermat (Torricelli)

Énoncé : Trouver le point $P$ à l’intérieur d’un triangle $ABC$ (dont les angles sont < 120°) qui minimise la somme $PA + PB + PC$.

Solution par Rotation :

  1. On effectue une rotation de centre $B$ et d’angle $60^\circ$.
  2. Soit $P’$ l’image de $P$ et $C’$ l’image de $C$.
  3. Le triangle $BPP’$ est équilatéral, donc $PB = PP’$.
  4. La rotation est une isométrie, donc $PC = P’C’$.
  5. La somme $PA + PB + PC$ devient $PA + PP’ + P’C’$.
  6. Cette somme représente la longueur du chemin brisé $A \to P \to P’ \to C’$.
  7. Le chemin le plus court entre $A$ et $C’$ est la ligne droite. Donc $P$ doit être sur le segment $[AC’]$.

IX. Synthèse et Erreurs Fréquentes

MUSÉE DES HORREURS
  • ⛔ Confondre Sens Direct et Indirect : Une rotation de $+\frac{\pi}{2}$ n’est pas la même qu’une rotation de $-\frac{\pi}{2}$ ! Le signe est crucial.
  • ⛔ Oublier le Centre : Une rotation est définie par DEUX éléments : le centre et l’angle. Parler d’une « rotation de 90° » sans préciser le centre n’a aucun sens.
  • ⛔ Ne pas vérifier l’isométrie : Si $A’B’ \neq AB$, vous vous êtes trompé dans la construction.

Fin du Cours Magistral – La Rotation dans le Plan – Niveau 1ère Année Baccalauréat Sciences