1. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), le nombre \(n(n^2+5)\) est divisible par 6.
2. Déterminer le reste de la division euclidienne de \(7^{2024}\) par 5.
3. Résoudre dans \(\mathbb{Z}^2\) l’équation : \(x^2 – y^2 = 12\).

Soit \(n\) un entier naturel non nul. On pose \(a = 3n + 1\) et \(b = 5n + 2\).

1. Montrer que \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux. (Utiliser une combinaison linéaire).
2. En déduire le PPCM de \((3n+1)\) et \((5n+2)\).
3. Déterminer les entiers naturels \(n\) tels que \(n+2\) divise \(3n+11\).

On considère la suite numérique \((u_n)\) définie par :

1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
2. Montrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \neq 1\).
3. On pose \(v_n = \frac{1}{u_n – 1}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
   a) Montrer que \((v_n)\) est une suite arithmétique dont on déterminera la raison et le premier terme.
   b) Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).
4. Calculer la somme \(S_n = \sum_{k=0}^{n} v_k\).
5. Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).

On définit une suite d’entiers \((x_n)\) par \(x_n = 4^n + 15n – 1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1. Calculer \(x_0, x_1, x_2\). Vérifier qu’ils sont divisibles par 9.
2. Démontrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(x_n\) est divisible par 9.
3. En déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(4^n + 6n – 1 \equiv 0 \pmod{9}\).