1. Montrer que : \( \forall (x,y) \in (\mathbb{R}^{+*})^2, \quad \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2 \). (1 pt)
2. Soient \(a, b, c\) des réels positifs. Montrer que si \(a \leq b \leq c\), alors : \[ a \leq \sqrt[3]{abc} \leq c \] (1.5 pts)
3. Montrer par l’absurde que : \( \forall n \in \mathbb{N}, \quad \sqrt{4n+2} \notin \mathbb{N} \). (1.5 pts)

On considère la somme \(S_n = \sum_{k=1}^{n} k^3 = 1^3 + 2^3 + \dots + n^3\).

1. Calculer \(S_1, S_2, S_3\). (0.5 pt)
2. Montrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\) : \[ S_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \] (2 pts)
3. En déduire que la somme des cubes des \(n\) premiers entiers est égale au carré de la somme des \(n\) premiers entiers. (0.5 pt)

Déterminer la valeur de vérité de la proposition suivante, puis donner sa négation : \[ P : \exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, \quad y^2 > x \] (1 pt)

Soient \(E\) un ensemble et \(A, B, C\) trois parties de \(E\).

1. Montrer que : \( (A \cup B) \setminus (A \cap B) = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \). (C’est la différence symétrique \(A \Delta B\)). (1.5 pts)
2. Montrer l’implication suivante : \[ (A \cup B = A \cap C) \Rightarrow (B \subset A \subset C) \] (1.5 pts)
3. Simplifier l’ensemble \(X\) défini par : \(X = \overline{(A \cap \bar{B})} \cup (A \cap B)\). (1 pt)
4. Soient \(A\) et \(B\) deux parties non vides de \(E\). On considère l’application : \[ f : \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(A) \times \mathcal{P}(B) \] \[ X \mapsto (X \cap A, X \cap B) \] Montrer que \(f\) est injective si et seulement si \(A \cup B = E\). (1 pt)

Soit \(f\) l’application définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = \frac{x}{1+|x|}\).

1. Montrer que \(f\) est impaire. (0.5 pt)
2. Montrer que \(f\) est injective. (1.5 pts)
3. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(|f(x)| < 1\). \(f\) est-elle surjective de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\) ? (1 pt)
4. Soit \(g\) la restriction de \(f\) à l’ensemble d’arrivée \(J = ]-1, 1[\). C’est-à-dire \(g : \mathbb{R} \to ]-1, 1[\), \(x \mapsto f(x)\).
   Montrer que \(g\) est bijective. (1 pt)
5. Déterminer l’expression de la bijection réciproque \(g^{-1}(y)\) pour tout \(y \in ]-1, 1[\). (2 pts)
6. Calculer l’image directe \(f([-2, 2])\). (1 pt)