1. Montrer que pour tout entier naturel impair \(n\), \(n^2 – 1\) est divisible par 8. (1 pt)
2. En déduire que si \(n\) et \(m\) sont impairs, alors \(n^2 + m^2 + 6\) est divisible par 8. (1 pt)
3. Résoudre dans \(\mathbb{N}^2\) l’équation : \(x^2 – y^2 = 24\). (1.5 pts)

Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 2. On pose \(a = n^3 + n\) et \(b = 2n + 1\).

1. Montrer que tout diviseur commun \(d\) de \(a\) et \(b\) divise 5.
   (Indication : On pourra chercher une combinaison linéaire éliminant les puissances de \(n\)). (1.5 pts)
2. Déterminer les valeurs de \(n\) pour lesquelles \(PGCD(a, b) = 5\). (1.5 pts)
3. En déduire \(PGCD(a, b)\) lorsque \(n = 2024\). (0.5 pt)

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de \(3^{2024}\) par 7. (1.5 pts)
2. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(2^{3n} – 1\) est un multiple de 7. (1.5 pts)

Soit \(ABC\) un triangle. On considère les points \(I\), \(J\) et \(K\) définis par :

\(\vec{AI} = \frac{2}{3}\vec{AB}\), \(\vec{BJ} = \frac{1}{2}\vec{BC}\) et \(\vec{AK} = 2\vec{AC}\).

1. Montrer que \(I\) est le barycentre des points \((A, 1)\) et \((B, 2)\). (1 pt)
2. Écrire \(J\) comme barycentre de \(B\) et \(C\) avec des coefficients à préciser. (1 pt)
3. Soit \(G\) le barycentre du système \(\{(A, 1) ; (B, 2) ; (C, -1)\}\).
   a) Montrer que \(G\) est le barycentre de \((I, 3)\) et \((C, -1)\). Construire \(G\). (1.5 pts)
   b) Montrer que \(G\) est le milieu du segment \([JK]\). (Indication : Exprimer \(K\) comme barycentre). (1.5 pts)
   c) En déduire que les droites \((IC)\) et \((JK)\) sont sécantes en \(G\). (0.5 pt)
4. Déterminer et construire l’ensemble \((\Delta)\) des points \(M\) du plan tels que : \[ || \vec{MA} + 2\vec{MB} – \vec{MC} || = || \vec{MA} – \vec{MC} || \] (2 pts)
5. Soit \(m\) un paramètre réel. On considère le système \(\{(A, 1) ; (B, m) ; (C, -m)\}\).
   Montrer que le barycentre \(G_m\) existe pour tout \(m\) et qu’il appartient à une droite fixe lorsque \(m\) varie. (1.5 pts)

Soit \(p\) un nombre premier supérieur à 3.

Montrer que \(p^2 – 1\) est divisible par 24.

(Indication : Étudier la parité de \(p\) et sa congruence modulo 3).