Calculer les limites suivantes :

1. \(\lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos x \cdot \cos(2x)}{x^2}\)
   (Indication : Ajouter et retrancher \(\cos(2x)\).
2. \(\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1 – \tan x}{\cos(2x)}\)
3. \(\lim_{x \to 1} \frac{\sin(\pi x)}{x – 1}\) (Changement de variable \(t = x-1\))

1. Calculer \(\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{x+6} – 2}{\sqrt{x+2} – 2}\).
2. Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt[3]{x^3 + x^2 + 1} – x \right)\).
3. Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \frac{E(2x) + x}{E(x) – 3x}\), où \(E\) désigne la partie entière.
   (Utiliser l’encadrement \(y – 1 < E(y) \le y\)).

Soit \(g\) la fonction définie par : \(g(x) = x \sqrt{1 – x^2}\) pour \(x \in [-1, 1]\).

1. Dérivabilité aux bornes :
   Étudier la dérivabilité de \(g\) en \(1\) à gauche et en \(-1\) à droite.
   Interpréter graphiquement les résultats (Tangentes verticales ?).
2. Fonction dérivée :
   Justifier que \(g\) est dérivable sur \(]-1, 1[\) et montrer que pour tout \(x \in ]-1, 1[\) : \[ g'(x) = \frac{1 – 2x^2}{\sqrt{1 – x^2}} \]
3. Tangente :
   Déterminer l’équation de la tangente \((T)\) à la courbe \((C_g)\) au point d’abscisse \(0\).
4. Dérivée n-ième (Bonus) :
   Calculer la dérivée de \(h(x) = \frac{1}{x+1}\) jusqu’à l’ordre 3. Conjecturer \(h^{(n)}(x)\).

Dans le plan orienté, on considère un carré \(ABCD\) de centre \(O\) tel que \((\vec{AB}, \vec{AD}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]\).

On note \(r\) la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\frac{\pi}{2}\).

1. Images :
   a) Construire les points \(B’ = r(B)\) et \(D’ = r(D)\).
   b) Montrer que \(D, A, B’\) sont alignés.
2. Lieu géométrique :
   Soit \(M\) un point variable sur la droite \((BC)\). On note \(M’ = r(M)\).
   a) Déterminer l’image de la droite \((BC)\) par la rotation \(r\).
   (Indication : L’image d’une droite est une droite qui lui est perpendiculaire car l’angle est \(\pi/2\)).
   b) En déduire le lieu géométrique du point \(M’\) lorsque \(M\) décrit \((BC)\).
3. Configuration complexe :
   On considère un point \(P\) à l’intérieur du carré \(ABCD\). On construit les triangles équilatéraux \(ABP’\) et \(BCP »\) extérieurs aux côtés correspondants.
   Utiliser une rotation bien choisie pour montrer que \(DP’ = AP »\). (Question de recherche).