On considère la fonction \(f\) définie par : \(f(x) = \frac{x^3}{x^2 – 1}\).

Soit \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).

1. Déterminer \(D_f\) et étudier la parité de \(f\). Que peut-on en déduire pour \((C_f)\) ?
2. Calculer les limites aux bornes de \(D_f\). Préciser les asymptotes verticales.
3. Montrer que pour tout \(x \in D_f\), \(f'(x) = \frac{x^2(x^2 – 3)}{(x^2 – 1)^2}\).
4. Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations complet.
5. Déterminer les réels \(a, b\) tels que \(f(x) = ax + \frac{bx}{x^2 – 1}\).
6. Montrer que la droite \((\Delta) : y = x\) est une asymptote oblique à \((C_f)\).
   Étudier la position relative de \((C_f)\) et \((\Delta)\).

1. Calculer \(f »(x)\).
2. Étudier la concavité de \((C_f)\) et déterminer les coordonnées des points d’inflexion s’ils existent.
3. Construire les asymptotes, les tangentes aux points d’inflexion (s’il y en a) et la courbe \((C_f)\).

Soit \(ABCD\) un tétraèdre. On considère les points \(I, J, K, L\) définis par :

• \(I\) est le milieu de \([AB]\).
• \(J\) est le milieu de \([CD]\).
• \(\vec{AK} = \frac{1}{3}\vec{AD}\) et \(\vec{CL} = \frac{1}{3}\vec{CB}\).

1. Exprimer le vecteur \(\vec{IJ}\) en fonction de \(\vec{AD}\) et \(\vec{BC}\).
   (Utiliser la relation de Chasles : \(\vec{IJ} = \vec{IA} + \vec{AD} + \vec{DJ}\)…).
2. Exprimer le vecteur \(\vec{KL}\) en fonction de \(\vec{AD}\) et \(\vec{BC}\).
3. En déduire que les vecteurs \(\vec{IJ}\) et \(\vec{KL}\) sont colinéaires.
4. Que peut-on dire des droites \((IJ)\) et \((KL)\) ?
5. Les points \(I, J, K, L\) sont-ils coplanaires ? Justifier.

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère :

• Les points \(A(1, 2, -1)\), \(B(3, 0, 1)\) et \(C(2, 4, 0)\).
• La droite \((D)\) passant par \(E(0, 1, 1)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(1, -1, 2)\).

1. Équation de Plan :
   a) Montrer que les points \(A, B, C\) définissent un plan \((P)\).
   b) Vérifier que le vecteur \(\vec{n}(1, 1, 2)\) est normal au plan \((P)\). (Calculer \(\vec{n} \cdot \vec{AB}\) et \(\vec{n} \cdot \vec{AC}\)).
   c) Déterminer une équation cartésienne du plan \((P)\).
2. Intersection Droite/Plan :
   a) Donner une représentation paramétrique de la droite \((D)\).
   b) Déterminer les coordonnées du point d’intersection \(H\) de la droite \((D)\) et du plan \((P)\).
3. Orthogonalité :
   La droite \((D)\) est-elle orthogonale au plan \((P)\) ? Justifier.