Ensembles et Applications

Cours Complet : Ensembles et Applications (1Bac SM)

Sommaire

I. Notion d’Ensemble et Sous-ensemble
II. Opérations sur les Ensembles
III. Produit Cartésien
IV. Applications : Généralités
V. Injection, Surjection, Bijection
VI. Image Directe et Image Réciproque
VII. Composition et Réciproque

I. Notion d’Ensemble et Sous-ensemble

La théorie des ensembles, développée par Georg Cantor à la fin du XIXe siècle, est le langage universel des mathématiques modernes. Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments.

Inclusion et Égalité

Inclusion ($A \subset B$) : On dit que $A$ est inclus dans $B$ si tout élément de $A$ appartient à $B$.
$\forall x, (x \in A \Rightarrow x \in B)$
Égalité ($A = B$) : Deux ensembles sont égaux s’ils ont exactement les mêmes éléments. Cela revient à montrer une double inclusion.
$A = B \iff (A \subset B \text{ et } B \subset A)$

Ensemble des parties

Si $E$ est un ensemble, on note $\mathcal{P}(E)$ l’ensemble de tous les sous-ensembles de $E$.

Exemple : Si $E = \{1, 2\}$, alors $\mathcal{P}(E) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}$.

Si $E$ est fini de cardinal $n$, alors $\text{Card}(\mathcal{P}(E)) = 2^n$.

II. Opérations sur les Ensembles

2.1 Union et Intersection

Intersection ($A \cap B$) : L’ensemble des éléments communs à A et B. \[ x \in A \cap B \iff (x \in A \land x \in B) \]
Union ($A \cup B$) : L’ensemble des éléments appartenant à A ou à B (ou aux deux). \[ x \in A \cup B \iff (x \in A \lor x \in B) \]

Propriétés de Distributivité

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

2.2 Complémentaire et Différence

Complémentaire ($\bar{A}$ ou $C_E^A$) : Si $A \subset E$, le complémentaire de A dans E est l’ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A. \[ x \in \bar{A} \iff (x \in E \land x \notin A) \]
Différence ($A \setminus B$) : L’ensemble des éléments qui sont dans A mais pas dans B. \[ A \setminus B = A \cap \bar{B} \]

Lois de Morgan

$\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$
$\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}$

2.3 Différence Symétrique

On appelle différence symétrique de A et B, notée $A \Delta B$, l’ensemble :

$A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$

C’est l’ensemble des éléments qui appartiennent à un seul des deux ensembles.

III. Produit Cartésien

Le produit cartésien de deux ensembles $E$ et $F$, noté $E \times F$, est l’ensemble des couples $(x, y)$ où $x \in E$ et $y \in F$.

$E \times F = \{ (x, y) \mid x \in E, y \in F \}$

IV. Applications : Généralités

Une application $f$ de $E$ vers $F$ est une relation qui associe à chaque élément $x$ de $E$ un unique élément $y$ de $F$, noté $f(x)$.

$E$ est l’ensemble de départ (domaine).
$F$ est l’ensemble d’arrivée (codomaine).
$y = f(x)$ est l’image de $x$.
$x$ est un antécédent de $y$.

Égalité d’applications : Deux applications $f$ et $g$ sont égales si elles ont le même ensemble de départ, le même ensemble d’arrivée et si $\forall x \in E, f(x) = g(x)$.

V. Injection, Surjection, Bijection

Ce sont les concepts clés pour caractériser les applications.

5.1 Injection

$f : E \to F$ est injective si deux éléments distincts de $E$ ont toujours des images distinctes dans $F$.

Caractérisation formelle :

$\forall (x, x’) \in E^2, \quad f(x) = f(x’) \Rightarrow x = x’$

Méthode pour montrer l’injectivité

On suppose que $f(x) = f(x’)$. On résout l’équation ou on manipule l’égalité pour aboutir nécessairement à $x = x’$.

5.2 Surjection

$f : E \to F$ est surjective si tout élément de l’ensemble d’arrivée $F$ possède au moins un antécédent dans $E$.

Caractérisation formelle :

$\forall y \in F, \quad \exists x \in E, \quad y = f(x)$

Méthode pour montrer la surjectivité

On prend un $y$ quelconque dans $F$. On cherche à résoudre l’équation $y = f(x)$ d’inconnue $x$. Si on trouve toujours au moins une solution $x \in E$, alors $f$ est surjective.

5.3 Bijection

$f : E \to F$ est bijective si elle est à la fois injective et surjective.

Cela signifie que tout élément de $F$ possède un unique antécédent dans $E$.

$\forall y \in F, \quad \exists! x \in E, \quad y = f(x)$

VI. Image Directe et Image Réciproque

Ces notions étendent l’application aux sous-ensembles.

Image Directe

Soit $A \subset E$. L’image directe de $A$ par $f$, notée $f(A)$, est l’ensemble des images des éléments de $A$.

$f(A) = \{ f(x) \mid x \in A \} = \{ y \in F \mid \exists x \in A, y = f(x) \}$

Image Réciproque

Soit $B \subset F$. L’image réciproque de $B$ par $f$, notée $f^{-1}(B)$, est l’ensemble des antécédents des éléments de $B$.

$f^{-1}(B) = \{ x \in E \mid f(x) \in B \}$

Attention : Cette notation ne suppose pas que $f$ soit bijective.

VII. Composition et Réciproque

7.1 Composition

Soient $f : E \to F$ et $g : F \to G$. La composée de $f$ par $g$, notée $g \circ f$, est l’application définie par :

$\forall x \in E, \quad (g \circ f)(x) = g(f(x))$

Si $f$ et $g$ sont injectives, $g \circ f$ est injective.
Si $f$ et $g$ sont surjectives, $g \circ f$ est surjective.
Si $g \circ f$ est injective, alors $f$ est injective.
Si $g \circ f$ est surjective, alors $g$ est surjective.

7.2 Bijection Réciproque

Si $f : E \to F$ est bijective, alors il existe une unique application $f^{-1} : F \to E$, appelée application réciproque, telle que :

$\begin{cases} f^{-1} \circ f = Id_E \\ f \circ f^{-1} = Id_F \end{cases}$

On a l’équivalence fondamentale : $y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)$.

Fondements Algébriques – 1ère Année Bac Sciences Mathématiques