Généralités sur les Fonctions
Analyse Réelle – 1ère Année Bac Sciences Mathématiques
I. Définitions et Domaine
Une fonction numérique d’une variable réelle est une relation qui associe à chaque nombre réel $x$ au plus un nombre réel $y$.
Soit $f$ une fonction. L’ensemble de définition de $f$, noté $D_f$, est l’ensemble des réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe (est calculable dans $\mathbb{R}$).
Contraintes usuelles :
- Dénominateur non nul : $\frac{1}{A(x)} \Rightarrow A(x) \neq 0$.
- Radicande positif : $\sqrt{A(x)} \Rightarrow A(x) \ge 0$.
Deux fonctions $f$ et $g$ sont égales si et seulement si :
- Elles ont le même ensemble de définition : $D_f = D_g$.
- Pour tout $x \in D_f$, $f(x) = g(x)$.
II. Fonctions Bornées et Extremums
Ces notions permettent de « cadrer » les valeurs prises par une fonction.
2.1 Fonctions Majorées, Minorées, Bornées
Soit $f$ une fonction définie sur $D$.
- $f$ est majorée sur $D$ s’il existe un réel $M$ tel que : \(\forall x \in D, f(x) \le M\).
- $f$ est minorée sur $D$ s’il existe un réel $m$ tel que : \(\forall x \in D, f(x) \ge m\).
- $f$ est bornée sur $D$ si elle est à la fois majorée et minorée.
\(\exists M > 0, \forall x \in D, |f(x)| \le M\)
2.2 Extremums
- $f$ admet un maximum absolu en $a \in D$ si : \(\forall x \in D, f(x) \le f(a)\). Le maximum est la valeur $f(a)$.
- $f$ admet un minimum absolu en $b \in D$ si : \(\forall x \in D, f(x) \ge f(b)\). Le minimum est la valeur $f(b)$.
Un majorant est une « barrière » que la fonction ne dépasse pas. Un maximum est une valeur que la fonction atteint réellement.
Exemple : $f(x) = -x^2$. Elle est majorée par 10 (car $-x^2 \le 10$), mais son maximum est 0.
III. Variations et Monotonie
3.1 Taux d’Accroissement
Le taux d’accroissement d’une fonction $f$ entre deux réels distincts $x$ et $y$ de $D_f$ est :
3.2 Sens de Variation
Soit $I$ un intervalle inclus dans $D_f$.
- Si $\forall x, y \in I, T(x, y) \ge 0$, alors $f$ est croissante sur $I$.
- Si $\forall x, y \in I, T(x, y) \le 0$, alors $f$ est décroissante sur $I$.
- Si $T(x, y) = 0$, $f$ est constante.
IV. Parité et Éléments de Symétrie
Ces propriétés permettent de réduire le domaine d’étude de la fonction.
4.1 Parité
Soit $f$ définie sur $D_f$. On dit que le domaine est centré en 0 si $\forall x \in D_f, -x \in D_f$.
- $f$ est paire si $\forall x \in D_f, f(-x) = f(x)$. (Symétrie axe Oy).
- $f$ est impaire si $\forall x \in D_f, f(-x) = -f(x)$. (Symétrie centre O).
4.2 Axe et Centre de Symétrie Généralisés
- La droite d’équation $x = a$ est axe de symétrie de $\mathcal{C}_f$ si : \[ \forall x \in D_f, (2a-x) \in D_f \text{ et } f(2a-x) = f(x) \]
- Le point $\Omega(a, b)$ est centre de symétrie de $\mathcal{C}_f$ si : \[ \forall x \in D_f, (2a-x) \in D_f \text{ et } f(2a-x) + f(x) = 2b \]
V. Périodicité
Une fonction $f$ est périodique de période $T > 0$ si :
- $\forall x \in D_f, (x+T) \in D_f$ et $(x-T) \in D_f$.
- $\forall x \in D_f, f(x+T) = f(x)$.
Conséquence : On peut restreindre l’étude de $f$ sur un intervalle de longueur $T$ (comme $[0, T]$ ou $[-T/2, T/2]$), puis compléter la courbe par translations de vecteur $k \cdot T \vec{i}$.
VI. Composition des Fonctions
Soient $f : D_f \to \mathbb{R}$ et $g : D_g \to \mathbb{R}$. La composée de $f$ par $g$, notée $g \circ f$, est définie par :
Le domaine de définition est $D_{g \circ f} = \{ x \in D_f \mid f(x) \in D_g \}$.
Soit $f$ monotone sur $I$ et $g$ monotone sur $f(I)$.
- Si $f$ et $g$ ont le même sens de variation, alors $g \circ f$ est croissante.
- Si $f$ et $g$ ont des sens contraires, alors $g \circ f$ est décroissante.
Règle des signes : (+) par (+) donne (+), (+) par (-) donne (-), (-) par (-) donne (+).
VII. Comparaison de Fonctions
On dit que $f \le g$ sur un intervalle $I$ si $\forall x \in I, f(x) \le g(x)$.
Graphiquement, la courbe $\mathcal{C}_f$ est située en-dessous de la courbe $\mathcal{C}_g$.
Pour comparer $f$ et $g$, on étudie le signe de la différence $d(x) = f(x) – g(x)$.
VIII. La Partie Entière
C’est une fonction essentielle en Sciences Maths.
Pour tout réel $x$, il existe un unique entier relatif $n$ tel que $n \le x < n+1$.
Cet entier est appelé partie entière de $x$ et noté $E(x)$ ou $[x]$.
- $\forall x \in \mathbb{R}, x – 1 < E(x) \le x$.
- $\forall x \in \mathbb{R}, \forall k \in \mathbb{Z}, E(x + k) = E(x) + k$.
- La courbe de la fonction partie entière est une fonction en « escalier ».