Apprendre le triangle : Concepts et Fondamentaux
La figure géométrique que représente le triangle est sans doute la plus étudiée au collège. Cette série d’exercices de mathématiques est conçue pour le niveau 6ème (France, Afrique francophone), 1ère secondaire (Belgique, Québec) et 1ère AM (Algérie, Maroc, Tunisie), correspondant au programme de première année de collège dans tous les pays francophones. En effet, sa parfaite maîtrise ouvre la voie à des théorèmes bien plus avancés. Ainsi, que vous soyez face à un triangle quelconque, à un triangle équilatéral ou à un triangle rectangle isocèle, les règles fondamentales restent invariables. Par conséquent, il est vital de s’exercer intensivement. Tout d’abord, nous aborderons la théorie essentielle. Ensuite, nous vous proposerons des applications directes. De surcroît, chaque élève pourra vérifier ses tracés grâce à nos corrigés détaillés.
Définitions : Le triangle et ses déclinaisons
Propriétés et nature des triangles
Or, la définition d’un triangle isocèle stipule qu’il possède au moins deux côtés de même longueur. De plus, s’il détient un angle droit, il se transforme en triangle rectangle isocèle. Cependant, un triangle rectangle scalène possèdera un angle droit, mais tous ses côtés seront de tailles différentes. Par ailleurs, la somme des angles d’un triangle équivaut systématiquement à $180^\circ$, une règle d’or pour effectuer le calcul d’un angle d’un triangle manquant. En outre, lors de vos révisions sur les angles, vous constaterez que calculer un angle dans un triangle devient un jeu d’enfant avec cette soustraction. D’ailleurs, vous pouvez consulter la page Wikipédia sur le polygone à trois côtés pour en découvrir toute l’histoire, y compris le fameux triangle de Pascal, bien qu’il s’agisse là d’un concept purement arithmétique.
Formules pour le triangle : Périmètre, Surface et Lignes
Calculer l’aire et les droites remarquables
Ensuite, les élèves s’interrogent fréquemment : comment calculer l’aire d’un triangle de manière efficace ? En réalité, la formule de l’aire du triangle repose sur l’opération : $\frac{\text{Base} \times \text{Hauteur}}{2}$. Ainsi, la hauteur d’un triangle est une donnée cruciale. Néanmoins, pour évaluer la surface d’un triangle rectangle, il suffit de multiplier les deux côtés formant l’angle droit, puis de diviser par deux. Par conséquent, calculer l’aire d’un triangle rectangle est encore plus rapide. De même, le périmètre d’un triangle s’obtient par la simple addition de ses trois contours. Par exemple, le périmètre d’un triangle équilatéral correspond à trois fois la longueur de son côté unique.
Finalement, il ne faut pas négliger les constructions internes. La médiatrice d’un triangle permet notamment de trouver le cercle circonscrit à un triangle. De surcroît, la médiane d’un triangle, la bissectrice d’un triangle et l’orthocentre d’un triangle (point de concours des hauteurs) sont des droites remarquables qu’il faudra tracer avec soin.
Pratique : Exercices sur le triangle
Désormais, il est temps de passer à la pratique. Effectivement, l’inégalité triangulaire, le calcul de l’aire d’un triangle ou la recherche d’un triangle semblable requièrent de l’entraînement. Ainsi, munissez-vous d’une règle, d’un compas et d’un rapporteur. Puis, lisez chaque consigne avant d’amorcer vos constructions géométriques.
Exercice 1 : Inégalité Triangulaire
Dans chaque cas proposé, indiquez s’il est mathématiquement possible de construire le triangle $ABC$ :
- a. $AB = 9$ cm, $BC = 5$ cm, $AC = 1$ cm
- b. $AB = 6,5$ cm, $BC = 7$ cm, $AC = 5$ cm
- c. $AB = 3,7$ cm, $BC = 2,3$ cm, $AC = 6$ cm
Corrigé de l’exercice 1 : Le triangle
En effet, la règle de l’inégalité triangulaire exige que la longueur du plus grand côté soit strictement inférieure à la somme des deux autres côtés.
- a. Le plus grand côté est $9$. Or, $9 > 5 + 1$ (car $9 > 6$). Par conséquent, la construction est impossible.
- b. Le plus grand côté est $7$. Ainsi, $7 < 6,5 + 5$ (car $7 < 11,5$). De fait, la construction est tout à fait possible.
- c. Le plus grand côté est $6$. Or, $6 = 3,7 + 2,3$. Puisque les sommes sont égales, le triangle est plat (les points sont alignés). La construction d’un vrai triangle est donc impossible.
Exercice 2 : Somme des angles d’un triangle
Effectuez le calcul d’un angle d’un triangle pour trouver la mesure manquante dans les figures suivantes :
Triangle $HUY$
Triangle $ECR$
Corrigé de l’exercice 2 : Le triangle
Tout d’abord, rappelons que la somme des angles d’un triangle vaut invariablement $180^\circ$.
- a. Pour le triangle $HUY$ : $\widehat{U} = 180^\circ – (41^\circ + 38^\circ) = 180^\circ – 79^\circ = 101^\circ$.
- b. Pour le triangle $ECR$ : L’encodage indique qu’il est rectangle en $C$ (donc $90^\circ$). Ainsi, $\widehat{R} = 180^\circ – (90^\circ + 55^\circ) = 180^\circ – 145^\circ = 35^\circ$. Par ailleurs, on pouvait simplement faire $90^\circ – 55^\circ = 35^\circ$ car les angles aigus sont complémentaires.
Exercice 3 : Construction de triangles
Expliquez, étape par étape, les méthodes pour construire les figures suivantes :
- a. Le triangle $ABC$ tel que : $AB = 8$ cm ; $BC = 7$ cm et $AC = 6$ cm.
- b. Le triangle $EFG$ tel que : $EF = 5$ cm ; $EG = 6$ cm et l’angle $\widehat{FEG} = 50^\circ$.
- c. Le triangle $HIJ$ tel que : $HI = 9$ cm ; $\widehat{IHJ} = 70^\circ$ et $\widehat{HIJ} = 30^\circ$.
Corrigé de l’exercice 3 : Le triangle
Ensuite, la maîtrise des instruments est sollicitée :
- a. Tracez d’abord le segment $[AB]$ de $8$ cm. Avec un compas, pointez en $A$ avec un écartement de $6$ cm et tracez un arc. Pointez en $B$ avec un écartement de $7$ cm et tracez un second arc. Le sommet $C$ se situe à leur intersection.
- b. Tracez le segment $[EF]$ de $5$ cm. À l’aide du rapporteur, marquez un angle de $50^\circ$ depuis le sommet $E$. Sur la demi-droite générée, mesurez exactement $6$ cm pour placer le point $G$.
- c. Tracez la base $[HI]$ de $9$ cm. Au rapporteur, créez un angle de $70^\circ$ en $H$, puis un angle de $30^\circ$ en $I$. Le point $J$ apparaîtra au croisement des deux demi-droites.
Exercice 4 : Calculs dans un triangle rectangle
Sachant que $ABC$ est un triangle strictement rectangle en $A$, complétez le tableau suivant en effectuant le calcul des angles dans un triangle rectangle :
| $\widehat{ABC}$ | $53^\circ$ | ? | $8^\circ$ | ? |
|---|---|---|---|---|
| $\widehat{ACB}$ | ? | $71^\circ$ | ? | $39^\circ$ |
Corrigé de l’exercice 4 : Le triangle
Or, calculer un angle dans un triangle rectangle est très rapide : les deux angles aigus sont complémentaires (leur somme fait $90^\circ$). Il suffit de soustraire la valeur connue à $90^\circ$.
| $\widehat{ABC}$ | $53^\circ$ | $19^\circ$ | $8^\circ$ | $51^\circ$ |
|---|---|---|---|---|
| $\widehat{ACB}$ | $37^\circ$ | $71^\circ$ | $82^\circ$ | $39^\circ$ |
Exercice 5 et 6 : Déductions géométriques
Exercice 5 : On donne le triangle $EFG$ tel que $\widehat{EFG} = 20^\circ$ et $\widehat{GEF} = 70^\circ$. Déterminez la nature exacte de ce triangle.
Exercice 6 : Peut-on construire un triangle isocèle dont un côté mesure précisément $4$ cm et dont le périmètre total s’élève à $28$ cm ? Justifiez.
Corrigé des exercices 5 et 6 : Le triangle
De surcroît, la logique mathématique permet de répondre :
Exo 5 : Calculons d’abord le troisième angle manquant : $\widehat{FGE} = 180^\circ – (20^\circ + 70^\circ) = 180^\circ – 90^\circ = 90^\circ$. Par conséquent, puisqu’il dispose d’un angle droit, on peut affirmer que $EFG$ est un triangle rectangle en $G$.
Exo 6 : Deux hypothèses s’offrent à nous concernant ce triangle isocèle :
- Hypothèse 1 : Les deux côtés identiques mesurent $4$ cm. Le troisième côté ferait donc : $28 – (4 + 4) = 20$ cm. Cependant, l’inégalité triangulaire rend cela impossible car $20 > 4 + 4$ ($20 > 8$).
- Hypothèse 2 : La base unique mesure $4$ cm. Les deux autres côtés identiques se partagent le reste du périmètre : $(28 – 4) \div 2 = 12$ cm. Ici, l’inégalité triangulaire est respectée ($12 < 12 + 4$). Ainsi, oui, il est possible de construire un tel triangle (côtés de $12$, $12$ et $4$ cm).
Exercice 7 : Triangle Isocèle
1. Construisez un triangle isocèle en $A$ sachant que l’angle au sommet principal $\widehat{BAC} = 100^\circ$ et que le côté $AB = 5$ cm.
2. Effectuez le calcul de l’angle $\widehat{ABC}$.
Corrigé de l’exercice 7 : Le triangle
En effet, voici les déductions :
1. Pour la construction, tracez un segment $[AB]$ de $5$ cm. Utilisez le rapporteur pour créer un angle de $100^\circ$ de sommet $A$. Puisque le triangle est isocèle en $A$, la distance $AC$ est égale à $AB$. Placez donc le point $C$ à $5$ cm de $A$ sur la nouvelle demi-droite.
2. Dans ce type de figure, les angles à la base ($\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$) sont rigoureusement égaux. Par conséquent : $\widehat{ABC} = (180^\circ – 100^\circ) \div 2 = 80^\circ \div 2 = 40^\circ$.
Exercice 8 : Le triangle équilatéral
Observez la figure géométrique ci-dessous. Sachant que les côtés respectent l’égalité $MN = NP = PM$, calculez la mesure des trois angles $\widehat{MNP}$, $\widehat{NPM}$ et $\widehat{PMN}$.
Corrigé de l’exercice 8 : Le triangle
Ainsi, l’égalité des trois côtés confirme qu’il s’agit d’un triangle équilatéral. Or, une propriété immuable de ce triangle est que ses trois angles sont parfaitement égaux. Finalement, on calcule : $\widehat{MNP} = \widehat{NPM} = \widehat{PMN} = 180^\circ \div 3 = 60^\circ$.
Exercice 9 : Méthodes de construction avancées
Expliquez la méthode de tracé pour :
- a. Le triangle $JEU$ isocèle en $J$ sachant que $\widehat{JEU} = 25^\circ$ et $EJ = 4$ cm.
- b. Le triangle $ABC$ isocèle en $A$ sachant que $\widehat{BAC} = 110^\circ$ et $AB = 4$ cm.
Corrigé de l’exercice 9 : Le triangle
Néanmoins, il faut parfois calculer avant de tracer :
- a. Le triangle est isocèle en $J$, ce qui implique que les angles à la base opposée sont égaux : $\widehat{JUE} = \widehat{JEU} = 25^\circ$. On en déduit l’angle au sommet : $\widehat{EJU} = 180^\circ – (25^\circ + 25^\circ) = 130^\circ$. On trace alors $[EJ]$ de $4$ cm, puis on reporte l’angle de $130^\circ$ en $J$ et on place $U$ à $4$ cm de $J$.
- b. Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$, donc les angles à la base valent : $\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = (180^\circ – 110^\circ) \div 2 = 35^\circ$. On peut tracer $[AB]$ de $4$ cm, puis un angle de $110^\circ$ en $A$ et reporter $4$ cm pour obtenir $C$.
Foire Aux Questions : Tout savoir sur le triangle
Comment savoir si un triangle est rectangle ?
Tout d’abord, plusieurs méthodes coexistent. Si vous connaissez les angles, il suffit de vérifier que l’un d’eux mesure très exactement $90^\circ$ (ou que la somme des deux autres fait $90^\circ$). Cependant, si vous ne possédez que la longueur des côtés, vous devrez employer la réciproque du théorème de Pythagore (abordée plus tard au collège) pour valider qu’il s’agit bien d’un calcul du triangle rectangle.
Comment calculer l’aire d’un triangle rectangle facilement ?
Par ailleurs, la formule de l’aire d’un triangle rectangle est la plus simple à retenir. En effet, puisque les deux côtés formant l’angle droit agissent mutuellement comme base et hauteur (ils répondent à la notion de triangle et hauteur), il vous suffit de les multiplier entre eux, puis de diviser le résultat par deux. Cela revient à calculer la moitié de l’aire d’un rectangle classique. Si vous avez des doutes, n’hésitez pas à utiliser un calculateur de la surface d’un triangle en ligne pour vérifier vos devoirs.
Comment s’effectue le calcul de l’aire d’un triangle isocèle ou d’un triangle équilatéral ?
De plus, l’aire d’un triangle isocèle et l’aire d’un triangle équilatéral utilisent la même formule universelle ($Base \times Hauteur \div 2$). Toutefois, la difficulté réside souvent dans le fait de devoir tracer et mesurer préalablement la hauteur si elle n’est pas fournie. C’est pourquoi la surface d’un triangle de ce type demande un peu plus de rigueur géométrique qu’un simple calculs dans un triangle rectangle.
Pour aller plus loin sur Le triangle
Finalement, pour exceller lors de vos évaluations et manipuler la surface d’un triangle comme un expert, nous vous recommandons d’étudier le cours complet référencé ci-dessous sur notre site.