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Exercices sur les Triangles
1ère Année Collège
Dans chaque cas, dire s’il est possible de construire le triangle ABC :
- a. AB = 9 cm, BC = 5 cm, AC = 1 cm
- b. AB = 6,5 cm, BC = 7 cm, AC = 5 cm
- c. AB = 3,7 cm, BC = 2,3 cm, AC = 6 cm
Calculez la mesure de l’angle manquant pour chaque triangle :
Expliquer les étapes pour construire les triangles suivants :
- a. ABC tel que : AB = 8cm; BC = 7cm et AC = 6cm
- b. EFG tel que : EF = 5cm; EG = 6cm et \( \widehat{FEG} = 50^\circ \)
- c. HIJ tel que : HI = 9cm; \( \widehat{IHJ} = 70^\circ \) et \( \widehat{HIJ} = 30^\circ \)
ABC est un triangle rectangle en A. Complétez le tableau :
| \( \widehat{ABC} \) | 53° | 8° | ||
|---|---|---|---|---|
| \( \widehat{ACB} \) | 71° | 39° |
On donne le triangle EFG tel que : \( \widehat{EFG} = 20^\circ \) et \( \widehat{GEF} = 70^\circ \). Déterminez la nature du triangle EFG.
Peut-on construire un triangle isocèle dont un côté mesure 4 cm et le périmètre 28 cm ?
1. Construire un triangle isocèle en A tel que : \( \widehat{BAC} = 100^\circ \) et AB = 5 cm.
2. Calculez la mesure de l’angle \( \widehat{ABC} \).
On donne la figure suivante, tel que MN = NP = PM. Calculez la mesure des angles \( \widehat{MNP} \), \( \widehat{NPM} \) et \( \widehat{PMN} \).
Expliquer les étapes pour tracer :
- a. Le triangle JEU isocèle en J avec \( \widehat{JEU} = 25^\circ \) et EJ = 4 cm.
- b. Le triangle ABC isocèle en A avec \( \widehat{BAC} = 110^\circ \) et AB = 4 cm.
Corrigés des exercices
On vérifie si la longueur du plus grand côté est inférieure à la somme des deux autres.
a. 9 > 5 + 1 (9 > 6). Impossible.
b. 7 < 6,5 + 5 (7 < 11,5). Possible.
c. 6 = 3,7 + 2,3 (6 = 6). Possible (les points A, B, C sont alignés).
La somme des angles d’un triangle est 180°.
a. \( \widehat{U} = 180^\circ – (41^\circ + 38^\circ) = 180^\circ – 79^\circ = 101^\circ \)
b. Le triangle est rectangle en C (\(90^\circ\)).
\( \widehat{R} = 180^\circ – (90^\circ + 55^\circ) = 180^\circ – 145^\circ = 35^\circ \)
a. Tracer [AB] de 8 cm. Avec un compas, tracer un arc de cercle de centre A et de rayon 6 cm, puis un arc de centre B et de rayon 7 cm. Le point C est à l’intersection.
b. Tracer [EF] de 5 cm. Avec un rapporteur, tracer un angle de 50° de sommet E. Sur le côté de l’angle, placer G à 6 cm de E.
c. Tracer [HI] de 9 cm. Tracer un angle de 70° de sommet H et un angle de 30° de sommet I. Le point J est à l’intersection des deux côtés.
Les angles \( \widehat{ABC} \) et \( \widehat{ACB} \) sont complémentaires (leur somme est 90°).
| \( \widehat{ABC} \) | 53° | 19° | 8° | 51° |
|---|---|---|---|---|
| \( \widehat{ACB} \) | 37° | 71° | 82° | 39° |
Calculons le troisième angle :
\( \widehat{FGE} = 180^\circ – (20^\circ + 70^\circ) = 180^\circ – 90^\circ = 90^\circ \).
Puisque le triangle a un angle droit, EFG est un triangle rectangle en G.
Deux cas sont possibles pour un triangle isocèle avec un côté de 4 cm :
Cas 1 : Les côtés égaux mesurent 4 cm. Le troisième côté mesure 28 – (4 + 4) = 20 cm. Inégalité triangulaire : 20 > 4 + 4 (20 > 8). C’est impossible.
Cas 2 : La base mesure 4 cm. Les deux autres côtés mesurent (28 – 4) / 2 = 12 cm. Inégalité triangulaire : 12 < 12 + 4. C'est possible.
Oui, on peut construire un tel triangle (avec des côtés de 12 cm, 12 cm et 4 cm).
1. La construction se fait en traçant [AB] de 5 cm, puis un angle de 100° en A, et en plaçant C à 5 cm de A sur le nouveau côté.
2. La somme des angles vaut 180°. Les angles à la base \( \widehat{ABC} \) et \( \widehat{ACB} \) sont égaux.
\( \widehat{ABC} = (180^\circ – 100^\circ) / 2 = 80^\circ / 2 = 40^\circ \).
Le triangle est équilatéral, donc ses trois angles sont égaux.
\( \widehat{MNP} = \widehat{NPM} = \widehat{PMN} = 180^\circ / 3 = 60^\circ \).
a. JEU est isocèle en J, donc \( \widehat{JUE} = \widehat{JEU} = 25^\circ \). L’angle \( \widehat{EJU} = 180^\circ – (25^\circ + 25^\circ) = 130^\circ \). On peut le construire avec la règle et le rapporteur.
b. ABC est isocèle en A, les angles à la base sont égaux : \( \widehat{ABC} = \widehat{ACB} = (180^\circ – 110^\circ) / 2 = 35^\circ \). On peut le construire.