Encyclopédie : Le Produit Scalaire (1Bac SM)

LE MANUEL MAGISTRAL – RÉFÉRENCE ABSOLUE

Le Produit Scalaire dans le Plan

Géométrie Analytique, Métrique & Cercle – Niveau 1Bac SM

Plan Détaillé de l’Ouvrage

I. Définitions et Propriétés Fondamentales
II. Expression Analytique dans un Repère Orthonormé
III. Applications Métriques (Al-Kashi, Médiane)
IV. Droites : Vecteurs Normaux et Équations
V. Le Cercle : Équations Cartésiennes et Paramétriques
VI. Positions Relatives Droite / Cercle
VII. Puissance d’un Point par rapport à un Cercle
VIII. L’Axe Radical de deux Cercles

I. Définitions et Propriétés Fondamentales

Genèse du Concept

Le produit scalaire est né au XIXe siècle des travaux de Hamilton et Grassmann pour unifier l’algèbre et la géométrie. C’est une forme bilinéaire symétrique définie positive qui permet de mesurer des longueurs et des angles en utilisant uniquement des calculs algébriques. Il est l’outil central de la géométrie euclidienne.

1.1 Définition Trigonométrique

Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le réel noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$ défini par :

Si $\vec{u} = \vec{0}$ ou $\vec{v} = \vec{0}$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
Sinon, $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$.

1.2 Définition par Projection Orthogonale

Soient $\vec{u} = \vec{OA}$ et $\vec{v} = \vec{OB}$. Soit $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(OA)$. Alors :

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \overline{OA} \times \overline{OH}$

II. Expression Analytique

L’introduction d’un repère orthonormé simplifie considérablement les calculs.

FORMULE FONDAMENTALE

Dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$, si $\vec{u}(x, y)$ et $\vec{v}(x’, y’)$, alors :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx’ + yy’$

Conséquences immédiates :

Norme : $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Distance : $AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}$.
Orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v} \iff xx’ + yy’ = 0$.

III. Applications Métriques

Le produit scalaire permet de démontrer des théorèmes puissants reliant longueurs et angles.

3.1 Théorème d’Al-Kashi

Dans un triangle $ABC$, on a :

$BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{A})$

3.2 Théorème de la Médiane

Si $I$ est le milieu de $[BC]$, alors pour tout point $M$ :

$AB^2 + AC^2 = 2 AI^2 + \frac{BC^2}{2}$

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AI^2 – \frac{BC^2}{4}$

IV. Droites : Vecteurs Normaux et Équations

Une droite peut être définie par un point et un vecteur qui lui est perpendiculaire (vecteur normal).

Un vecteur non nul $\vec{n}$ est normal à une droite $(D)$ s’il est orthogonal à tout vecteur directeur de $(D)$.

ÉQUATION CARTÉSIENNE

La droite passant par $A(x_0, y_0)$ et de vecteur normal $\vec{n}(a, b)$ a pour équation :

$a(x – x_0) + b(y – y_0) = 0 \iff ax + by + c = 0$

DISTANCE D’UN POINT À UNE DROITE

La distance du point $M(x_M, y_M)$ à la droite $(D) : ax + by + c = 0$ est :

$d(M, D) = \frac{|ax_M + by_M + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

V. Le Cercle : Équations Cartésiennes et Paramétriques

Le cercle est l’ensemble des points à égale distance d’un centre.

5.1 Équation Cartésienne

Le cercle $(\mathcal{C})$ de centre $\Omega(a, b)$ et de rayon $R$ a pour équation :

$(x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2$

5.2 Représentation Paramétrique

Le cercle $(\mathcal{C})$ est l’ensemble des points $M(x, y)$ tels que :

$\begin{cases} x = a + R \cos \theta \\ y = b + R \sin \theta \end{cases} \quad (\theta \in \mathbb{R})$

5.3 Cercle défini par un diamètre

L’ensemble des points $M$ tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ est le cercle de diamètre $[AB]$.

$(x – x_A)(x – x_B) + (y – y_A)(y – y_B) = 0$

VI. Positions Relatives Droite / Cercle

Pour étudier la position d’une droite $(D)$ par rapport à un cercle $(\mathcal{C})$ de centre $\Omega$ et rayon $R$, on compare $d(\Omega, D)$ et $R$.

$d < R$ : La droite est sécante (2 points d'intersection).
$d = R$ : La droite est tangente (1 point d’intersection).
$d > R$ : La droite est extérieure (0 point).

VII. Puissance d’un Point par rapport à un Cercle

C’est une notion avancée, spécifique au programme de Sciences Maths, qui caractérise la position d’un point par rapport à un cercle.

PUISSANCE

Soit $(\mathcal{C})$ un cercle de centre $\Omega$ et de rayon $R$. Pour tout point $M$ du plan, on appelle puissance de $M$ par rapport à $(\mathcal{C})$ le réel :

$\mathcal{P}_{(\mathcal{C})}(M) = \Omega M^2 – R^2$

Si une droite passant par $M$ coupe le cercle en deux points $A$ et $B$, alors :

$\mathcal{P}_{(\mathcal{C})}(M) = \vec{MA} \cdot \vec{MB}$

Ce produit scalaire est constant quelle que soit la sécante choisie passant par $M$.

Si $\mathcal{P}(M) < 0$, $M$ est à l'intérieur du cercle.
Si $\mathcal{P}(M) = 0$, $M$ est sur le cercle.
Si $\mathcal{P}(M) > 0$, $M$ est à l’extérieur. Si $(MT)$ est une tangente issue de $M$, alors $\mathcal{P}(M) = MT^2$.

VIII. L’Axe Radical de deux Cercles

Soient $(\mathcal{C}_1)$ et $(\mathcal{C}_2)$ deux cercles non concentriques. L’ensemble des points $M$ ayant la même puissance par rapport aux deux cercles est une droite, appelée axe radical.

$\mathcal{P}_{(\mathcal{C}_1)}(M) = \mathcal{P}_{(\mathcal{C}_2)}(M)$

Propriété : L’axe radical est toujours perpendiculaire à la droite des centres $(\Omega_1 \Omega_2)$.