Encyclopédie : Calcul Trigonométrique (1Bac SM)

LE MANUEL MAGISTRAL – RÉFÉRENCE ABSOLUE

Le Calcul Trigonométrique

Analyse Harmonique & Équations – Niveau 1Bac SM

Plan Détaillé de l’Ouvrage

I. Le Cercle Trigonométrique et la Mesure d’Angle
II. Formules d’Addition et de Soustraction
III. Formules de Duplication et de Linéarisation
IV. Transformation de Sommes en Produits (Simpson)
V. Transformation de Produits en Sommes
VI. Transformation de $a\cos x + b\sin x$
VII. Équations et Inéquations Trigonométriques
VIII. Applications Géométriques
IX. Synthèse et Astuces de Calcul

I. Le Cercle Trigonométrique et la Mesure d’Angle

Des Astronomes à l’Analyse

La trigonométrie (mesure des triangles) est née des besoins de l’astronomie antique (Hipparque, Ptolémée). Elle a évolué vers l’étude des fonctions circulaires grâce aux mathématiciens indiens et arabes (Al-Khwarizmi, Al-Battani), puis européens (Euler). En Sciences Maths, nous abandonnons les degrés pour le Radian, unité naturelle liée à la longueur de l’arc.

RELATION FONDAMENTALE

Pour tout réel $x$ :

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$

Et si $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ :

$1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$

II. Formules d’Addition et de Soustraction

Ce sont les formules mères, d’où découlent toutes les autres. Leur démonstration repose sur le produit scalaire.

FORMULES D’ADDITION

Pour tous réels $a$ et $b$ :

$\cos(a+b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b$
$\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$
$\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$
$\sin(a-b) = \sin a \cos b – \cos a \sin b$
$\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 – \tan a \tan b}$

III. Formules de Duplication et de Linéarisation

Ces formules permettent de passer de $2x$ à $x$ (Duplication) ou de transformer des puissances en sommes (Linéarisation), essentiel pour le calcul intégral.

ANGLE DOUBLE (Duplication)

$\cos(2x) = \cos^2 x – \sin^2 x = 2\cos^2 x – 1 = 1 – 2\sin^2 x$
$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$
$\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 – \tan^2 x}$

LINÉARISATION (Carnot)

Pour abaisser le degré :

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \quad \text{et} \quad \sin^2 x = \frac{1 – \cos(2x)}{2}$

IV. Transformation de Sommes en Produits

Ces formules (dites de Simpson) sont cruciales pour résoudre des équations du type $\cos p + \cos q = 0$.

$\cos p + \cos q = 2 \cos(\frac{p+q}{2}) \cos(\frac{p-q}{2})$

$\cos p – \cos q = -2 \sin(\frac{p+q}{2}) \sin(\frac{p-q}{2})$

$\sin p + \sin q = 2 \sin(\frac{p+q}{2}) \cos(\frac{p-q}{2})$

$\sin p – \sin q = 2 \cos(\frac{p+q}{2}) \sin(\frac{p-q}{2})$

V. Transformation de Produits en Sommes

Utilisées pour simplifier des expressions ou calculer des primitives.

$\cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos(a+b) + \cos(a-b)]$

$\sin a \sin b = -\frac{1}{2} [\cos(a+b) – \cos(a-b)]$

$\sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin(a+b) + \sin(a-b)]$

VI. Transformation de $a\cos x + b\sin x$

Cette technique est l’une des plus puissantes pour résoudre des équations linéaires.

MÉTHODE DE L’AMPLITUDE ET DE LA PHASE

On pose $R = \sqrt{a^2 + b^2}$. Alors :

$a\cos x + b\sin x = R \left( \frac{a}{R}\cos x + \frac{b}{R}\sin x \right)$

On identifie un angle $\alpha$ tel que $\cos \alpha = \frac{a}{R}$ et $\sin \alpha = \frac{b}{R}$.

L’expression devient : $R(\cos \alpha \cos x + \sin \alpha \sin x) = R \cos(x – \alpha)$.

VII. Équations et Inéquations Trigonométriques

7.1 Équations Fondamentales

$\cos x = \cos \alpha \iff x \equiv \pm \alpha \ [2\pi]$
$\sin x = \sin \alpha \iff x \equiv \alpha \ [2\pi] \text{ ou } x \equiv \pi – \alpha \ [2\pi]$
$\tan x = \tan \alpha \iff x \equiv \alpha \ [\pi]$

L’IMPORTANCE DU MODULO

En Sciences Maths, on travaille souvent sur $\mathbb{R}$. Oublier le $+2k\pi$ est une erreur grave. Si l’intervalle est imposé (ex: $[0, 2\pi]$), il faut sélectionner les valeurs de $k$ correspondantes.

7.2 Inéquations

La résolution est graphique. On représente le cercle trigonométrique, on place les solutions de l’équation associée, et on colorie l’arc correspondant à l’inégalité.

VIII. Applications Géométriques

La trigonométrie sert à calculer des aires et des distances dans des polygones.

Aire d’un triangle : $S = \frac{1}{2} bc \sin A$.
Loi des Sinus : $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ (où $R$ est le rayon du cercle circonscrit).
Théorème d’Al-Kashi : $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A$.

IX. Synthèse et Astuces de Calcul

Utilisation de l’Arc Moitié ($t = \tan(x/2)$)

Pour rationaliser des expressions trigonométriques, on pose $t = \tan(x/2)$. Alors :

$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2} \quad , \quad \sin x = \frac{2t}{1+t^2} \quad , \quad \tan x = \frac{2t}{1-t^2}$