Les Suites Numériques
Cours Magistral Intégral – Analyse Réelle
I) ACTIVITÉS
1) Approche Géométrique
Soit $(C)$ un demi-cercle de diamètre $[AB]$ avec $AB = 10 \text{ cm}$. On partage successivement le segment $[AB]$ en deux, puis trois, puis quatre segments de même longueur. À chaque étape, on construit sur les segments obtenus des demi-cercles.
On note $a_1$, $a_2$ et $a_3$ l’aire du domaine coloré en vert aux étapes 1, 2 et 3.
- Calculer $a_1, a_2$ et $a_3$.
- À l’étape $n$, on partage $[AB]$ en $n+1$ segments. Vérifier que \(a_n = \frac{25\pi}{2} \times \frac{n}{n+1}\).
L’aire du grand demi-cercle est \(S_{total} = \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi (5)^2 = \frac{25\pi}{2}\).
À l’étape $n$, on a $(n+1)$ petits demi-cercles de diamètre \(d = \frac{10}{n+1}\), donc de rayon \(r = \frac{5}{n+1}\).
L’aire des petits demi-cercles est \((n+1) \times \frac{1}{2} \pi r^2 = (n+1) \frac{\pi}{2} \frac{25}{(n+1)^2} = \frac{25\pi}{2(n+1)}\).
L’aire verte $a_n$ est la différence : \(a_n = \frac{25\pi}{2} – \frac{25\pi}{2(n+1)} = \frac{25\pi}{2} (1 – \frac{1}{n+1}) = \frac{25\pi}{2} \frac{n}{n+1}\).
2) Approche Économique : Que choisir ?
Une personne reçoit deux offres pour 4 ans :
- Société A : Salaire de 4500 Dh le 1er mois, augmentation de 75 Dh chaque mois.
- Société B : Salaire de 3500 Dh le 1er mois, augmentation de 3% chaque mois.
Soient $a_n$ et $b_n$ les salaires respectifs pour le $n$-ième mois.
- Calculer les salaires des 4 premiers mois.
- Trouver les relations de récurrence.
- Calculer le salaire du 10ème mois.
Société A (Arithmétique) : \(a_1 = 4500\). Chaque mois on ajoute 75.
\(a_2 = 4575\), \(a_3 = 4650\), \(a_4 = 4725\).
Relation : \(a_{n+1} = a_n + 75\).
10ème mois : \(a_{10} = 4500 + 9 \times 75 = 5175 \text{ Dh}\).
Société B (Géométrique) : \(b_1 = 3500\). Chaque mois on multiplie par \(1 + \frac{3}{100} = 1,03\).
\(b_2 = 3605\), \(b_3 = 3713,15\), \(b_4 = 3824,54\).
Relation : \(b_{n+1} = 1,03 \times b_n\).
10ème mois : \(b_{10} = 3500 \times (1,03)^9 \approx 4566,70 \text{ Dh}\).
II) GÉNÉRALITÉS
1) Définitions et Notations
On appelle suite numérique toute application de \(\mathbb{N}\) (ou une partie de \(\mathbb{N}\)) vers \(\mathbb{R}\).
Si \(u\) est une suite définie sur \(\mathbb{N}\) :
- L’image de l’entier \(n\) par \(u\) se note \(u_n\) et s’appelle le terme d’indice \(n\).
- L’entier \(n\) est l’indice.
- La suite se note \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ou simplement \((u_n)\).
1. Expression explicite : \(u_n\) est défini directement en fonction de \(n\).
Exemples : \(u_n = \frac{n^2+1}{2n+1}\) ; \(v_n = \sqrt{n^2+1}\).
2. Expression récurrente : Définie par un premier terme et une relation entre termes consécutifs.
Exemple (1er ordre) : \(\begin{cases} u_0 = 2 \\ u_{n+1} = 2u_n + 3 \end{cases}\)
Exemple (2nd ordre) : \(\begin{cases} u_0 = 2, u_1 = -1 \\ u_{n+2} = u_{n+1} + 3u_n \end{cases}\)
Il ne faut pas confondre \(u_{n+1}\) et \(u_n + 1\).
- \(u_{n+1}\) est le terme qui suit \(u_n\).
- \(u_n + 1\) est la valeur du terme \(u_n\) augmentée de 1.
III) SUITES MAJORÉES, MINORÉES, BORNÉES
- Majorée : Il existe un réel \(M\) tel que \(\forall n, u_n \le M\).
- Minorée : Il existe un réel \(m\) tel que \(\forall n, u_n \ge m\).
- Bornée : À la fois majorée et minorée.
Une suite \((u_n)\) est bornée si et seulement s’il existe un réel positif \(\alpha\) tel que :
Soit \((u_n)\) définie par : \(\begin{cases} u_0 = 0 \\ u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n} \end{cases}\). Montrer que \(\forall n, 0 \le u_n \le 2\).
Initialisation : \(u_0 = 0\), donc \(0 \le 0 \le 2\). Vrai.
Hérédité : Supposons \(0 \le u_n \le 2\). Montrons que \(0 \le u_{n+1} \le 2\).
On a \(0 \le u_n \le 2 \implies 2 \le 2 + u_n \le 4\).
En passant à la racine (fonction croissante) : \(\sqrt{2} \le \sqrt{2 + u_n} \le \sqrt{4}\).
Soit \(\sqrt{2} \le u_{n+1} \le 2\). Comme \(\sqrt{2} \ge 0\), alors \(0 \le u_{n+1} \le 2\). Hérédité prouvée.
Conclusion : Par récurrence, \(\forall n, u_n\) est bornée par 0 et 2.
IV) MONOTONIE D’UNE SUITE
- Croissante : \(\forall n, u_{n+1} \ge u_n\).
- Décroissante : \(\forall n, u_{n+1} \le u_n\).
- Monotone : Si elle est soit croissante, soit décroissante.
Pour étudier la monotonie, on étudie généralement le signe de la différence \(u_{n+1} – u_n\).
V) SUITES ARITHMÉTIQUES
Une suite \((u_n)\) est arithmétique s’il existe un réel \(r\) (la raison) tel que :
1) Terme Général
Soit \((u_n)\) arithmétique de raison \(r\) :
Cas particuliers :
- \(u_n = u_0 + nr\)
- \(u_n = u_1 + (n – 1)r\)
2) Somme des Termes
Pour une suite arithmétique, la somme \(S = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n\) est :
Règle : \(S = \frac{\text{Nombre de termes}}{2} \times (\text{1er terme} + \text{Dernier terme})\).
\(a, b, c\) sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique ssi :
VI) SUITES GÉOMÉTRIQUES
Une suite \((v_n)\) est géométrique s’il existe un réel \(q\) (la raison) tel que :
1) Terme Général
Soit \((v_n)\) géométrique de raison \(q\) :
Cas particuliers :
- \(v_n = v_0 \times q^n\)
- \(v_n = v_1 \times q^{n-1}\)
2) Somme des Termes
Pour une suite géométrique de raison \(q \neq 1\), la somme \(S = v_p + \dots + v_n\) est :
Règle : \(S = \text{1er terme} \times \frac{1 – q^{\text{Nombre de termes}}}{1 – q}\).
\(a, b, c\) sont trois termes consécutifs d’une suite géométrique ssi :
Déterminer \(x\) pour que \((1+x^2)\), \((3+x)\) et \(10\) soient consécutifs en géométrique.
On applique \(b^2 = ac \implies (3+x)^2 = 10(1+x^2)\).
\(9 + 6x + x^2 = 10 + 10x^2 \implies 9x^2 – 6x + 1 = 0\).
On reconnaît \((3x – 1)^2 = 0\), d’où \(x = 1/3\).