- I) Rappels et Compléments (Intervalles et Voisinages)
- II) Limite nulle en 0
- III) Limite finie l en a
- IV) Limite à droite et Limite à gauche
- V) Opérations sur les limites finies
- VI) Extension de la notion de limite (Infini)
- VII) Limites des fonctions usuelles et opérations (Tableaux)
- VIII) Limites des fonctions polynômes et rationnelles
- IX) Limites des fonctions trigonométriques
- X) Complément sur la Continuité
I) RAPPELS ET COMPLÉMENTS
\(]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} / a < x < b\}\)
Le centre de l’intervalle \(]a, b[\) est le réel \(x_0 = \frac{a+b}{2}\).
Le rayon de l’intervalle \(]a, b[\) est le réel positif \(r = \frac{b-a}{2}\).
Déterminer les bornes d’un intervalle ouvert de centre \(x_0\) et de rayon \(r\) (deux réels donnés).
L’ensemble : \(]a, b[^* = \{x \in \mathbb{R} / a < x < b\} \setminus \{x_0\}\) où \(x_0\) est le centre de l'intervalle \(]a, b[\), s'appelle l'intervalle pointé de bornes \(a\) et \(b\).
Si \(r\) est le rayon de l’intervalle \(]a, b[\) et \(x_0\) son centre alors : \(]a, b[^* = ]x_0 – r, x_0 + r[ \setminus \{x_0\}\).
Montrer que \(x \in ]x_0 – r, x_0 + r[ \setminus \{x_0\} \iff 0 < |x - x_0| < r\).
- Rappeler l’image d’un ensemble par une application.
- Rappeler \(f(A) \subset B\).
- Traduire en utilisant les valeurs absolues : \(f(]x_0 – r, x_0 + r[^*) \subset ]l – \beta, l + \beta[\).
II) LIMITE NULLE EN 0
Considérons la fonction : \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(x \mapsto \frac{x^3}{|x|}\).
- Déterminer l’ensemble de définition de \(f\).
- Écrire des expressions de \(f\) sur des intervalles sans valeur absolue.
- La courbe de \(f\) est donnée :
a)- Déterminer un réel \(\alpha\) tel que : \(f(]-\alpha, \alpha[^*) \subset ]-2, 2[\).
b)- Déterminer un réel \(\alpha\) tel que : \(f(]-\alpha, \alpha[^*) \subset ]-10^{-2}, 10^{-2}[\).
c)- Déterminer un réel \(\alpha\) tel que : \(f(]-\alpha, \alpha[^*) \subset ]-\epsilon, \epsilon[\).
En répondant à la question 3-c) on peut conclure que :
On dit que la fonction \(f\) admet 0 comme limite en 0 et on écrit : \(\lim_{x \to 0} f(x) = 0\).
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle pointé de centre 0. On dit que \(f\) admet la limite 0 en 0 si elle vérifie la propriété suivante :
On écrit : \(\lim_{x \to 0} f(x) = 0\).
- Le fait que \(f\) est définie sur un intervalle pointé est essentiel. \(g(x) = \sqrt{x} + \sqrt{-x}\) est définie en 0 et n’admet pas de limite en 0 car \(D_g = \{0\}\).
- On n’a pas précisé dans la définition si \(f\) est définie en 0 ou non. Même si \(f\) est définie en 0, l’image de \(f\) en 0 n’affecte pas la limite.
Propriété : Si \(f\) et \(g\) sont confondues sur un intervalle pointé de centre 0 et si \(\lim_{x \to 0} f(x) = 0\), alors \(\lim_{x \to 0} g(x) = 0\).
Propriété : Les fonctions \(x \mapsto x^n\) (\(n \in \mathbb{N}^*\)), \(x \mapsto \sqrt{|x|}\), \(x \mapsto kx\) tendent vers 0 quand \(x\) tend vers 0.
III) LIMITE FINIE \(l\) EN \(a\)
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle pointé de centre \(a\) et \(l\) un réel. On dit que la fonction \(f\) tend vers \(l\) quand \(x\) tend vers \(a\) si : \(\lim_{x \to a} (f(x) – l) = 0\), c’est-à-dire :
Montrer en utilisant la définition que :
- \(\lim_{x \to x_0} (ax + b) = ax_0 + b\) (\(a \neq 0\)).
- \(\lim_{x \to 1} (x^2 + 1) = 2\).
Propriété : Si \(P\) est une fonction polynôme alors : \(\lim_{x \to a} P(x) = P(a)\).
Une fonction polynôme \(P\) est une fonction qui s’écrit de la forme : \(P(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n\).
Exemple : \(\lim_{x \to 2} (3x^2 + x + 3) = 17\).
Propriété : Si sur un intervalle pointé de centre \(a\) on a \(|f(x) – l| \le u(x)\) et \(\lim_{x \to a} u(x) = 0\), alors \(\lim_{x \to a} f(x) = l\).
Application : Déterminer \(\lim_{x \to 0} x \sin(\frac{1}{x})\).
Propriété (Limite et Encadrement – Théorème des Gendarmes) : Si sur un intervalle pointé de centre \(a\) on a \(g(x) \le f(x) \le h(x)\) et si \(\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = l\), alors \(\lim_{x \to a} f(x) = l\).
Propriété : Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle pointé de centre \(a\) :
- \(\lim_{x \to a} |f(x)| = l \iff \lim_{x \to a} f(x) = l\) ou \(\lim_{x \to a} f(x) = -l\).
- \(\lim_{x \to a} |f(x)| = 0 \iff \lim_{x \to a} f(x) = 0\).
Si \(f\) admet une limite \(l\) en \(a\), alors cette limite est unique.
IV) LIMITE À DROITE, LIMITE À GAUCHE
Soit la fonction \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(x \mapsto x – E(x)\) où \(E\) désigne la partie entière.
- Écrire les expressions de \(f\) sans utiliser la partie entière sur \(]0, 1[\) et \(]1, 2[\).
- Construire la courbe de la restriction de \(f\) sur \([0, 2]\).
- La fonction \(f\) admet-elle une limite en 1 ?
- Soit la fonction \(g(x) = x\) et \(h(x) = x – 1\).
a) Remarquer que \(f\) et \(g\) sont confondues sur \(]0, 1[\) et que \(f\) et \(h\) sont confondues sur \(]1, 2[\).
b) Déterminer les limites de \(g\) et de \(h\) en 1.
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle de la forme \(]a, a + r[\) où \(r > 0\) et \(l\) un réel. On dit que la fonction \(f\) tend vers \(l\) quand \(x\) tend vers \(a\) à droite si :
Et on écrit : \(\lim_{x \to a} f(x) = l\) ou \(\lim_{x \to a^+} f(x) = l\).
Une fonction \(f\) admet une limite \(l\) en \(a\) si et seulement si elle admet une limite à droite de \(a\) égale à sa limite à gauche de \(a\) égale à \(l\).
V) OPÉRATIONS SUR LES LIMITES FINIES
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions telles que : \(\lim_{x \to a} f(x) = l\) et \(\lim_{x \to a} g(x) = l’\). On a :
- \(\lim_{x \to a} (f + g)(x) = l + l’\)
- \(\lim_{x \to a} (f \times g)(x) = l \times l’\)
- \(\lim_{x \to a} |f|(x) = |l|\)
- \(\lim_{x \to a} (\frac{1}{g})(x) = \frac{1}{l’}\) (si \(l’ \neq 0\))
- \(\lim_{x \to a} (\frac{f}{g})(x) = \frac{l}{l’}\) (si \(l’ \neq 0\))
- \(\lim_{x \to a} (\sqrt{f})(x) = \sqrt{l}\) (si \(l \ge 0\))
Ces propriétés sont vraies à droite et à gauche d’un réel \(a\).
VI) EXTENSION DE LA NOTION DE LIMITE
1) Limite infinie à droite (à gauche) de \(a\)
Considérons la fonction \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(x \mapsto \frac{1}{x}\).
- Compléter le tableau : [\(x = 10^{-2}, 10^{-6}, 10^{-20}, 10^{-p}\)]. Que remarquez-vous ?
- Déterminer \(\alpha\) tel que si \(0 < x < \alpha\) alors \(f(x) > 10^{100}\).
- Montrer que : \((\forall A > 0)(\exists \alpha > 0)(\forall x \in D_f)(0 < x < \alpha \Rightarrow f(x) > A)\).
On écrit : \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty\).
On dit que la fonction \(f\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(a\) à droite si :
On écrit : \(\lim_{x \to a^+} f(x) = +\infty\).
Propriété : Les fonctions \(x \mapsto \frac{k}{|x|}\), \(x \mapsto \frac{k}{\sqrt{|x|}}\) et \(x \mapsto \frac{k}{|x|^n}\) (\(k > 0, n \in \mathbb{N}^*\)) tendent vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers 0.
- \(\lim_{x \to a^+} f(x) = -\infty \iff (\forall A > 0)(\exists \alpha > 0)(\forall x \in D_f)(0 < x - a < \alpha \Rightarrow f(x) < -A)\)
- \(\lim_{x \to a^-} f(x) = +\infty \iff (\forall A > 0)(\exists \alpha > 0)(\forall x \in D_f)(0 < a - x < \alpha \Rightarrow f(x) > A)\)
- \(\lim_{x \to a^-} f(x) = -\infty \iff (\forall A > 0)(\exists \alpha > 0)(\forall x \in D_f)(0 < a - x < \alpha \Rightarrow f(x) < -A)\)
Si la fonction \(f\) vérifie l’une des limites infinies en un point fini \(a\) (à droite ou à gauche), alors on dit que la droite d’équation \(\mathbf{x = a}\) est une asymptote verticale à la courbe.
2) Limites finies en \(\pm\infty\)
On dit que \(f\) tend vers \(l\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) si :
On écrit : \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = l\).
Propriété : Les fonctions \(x \mapsto \frac{k}{x}\), \(x \mapsto \frac{k}{\sqrt{|x|}}\) et \(x \mapsto \frac{k}{|x|^n}\) tendent vers 0 quand \(x\) tend vers \(\pm\infty\).
Si \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = l\) ou \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = l\), alors on dit que la droite d’équation \(\mathbf{y = l}\) est une asymptote horizontale.
Position relative : Se détermine par le signe de \(f(x) – l\).
VII) OPÉRATIONS SUR LES LIMITES (TABLEAUX)
1) Limite de la Somme
| \(\lim f\) | \(l\) | \(l\) | \(l\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\lim g\) | \(l’\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) |
| \(\lim (f+g)\) | \(l+l’\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | FI |
2) Limite du Produit
| \(\lim f\) | \(l\) | \(l > 0\) ou \(+\infty\) | \(l < 0\) ou \(-\infty\) | \(+\infty\) | \(0\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\lim g\) | \(l’\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(\pm\infty\) |
| \(\lim (f \times g)\) | \(ll’\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) | FI |
Ce sont les cas où le calcul direct est impossible :
VIII) LIMITES DES POLYNÔMES ET RATIONNELLES EN \(\infty\)
La limite d’une fonction polynôme en \(\pm\infty\) est la limite de son terme de plus haut degré.
La limite d’une fonction rationnelle en \(\pm\infty\) est la limite du rapport des termes de plus haut degré.
- \(\lim_{x \to +\infty} \frac{7x^3+2x^2+8}{3x^4+2x^2-5x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{7x^3}{3x^4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{7}{3x} = 0\)
- \(\lim_{x \to -\infty} \frac{-6x^5+2x^4+8x}{5x^3+2x^2+5x+3} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-6x^5}{5x^3} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-6}{5}x^2 = -\infty\)
IX) LIMITES DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
- \(\lim_{x \to a} \sin x = \sin a \quad ; \quad \lim_{x \to a} \cos x = \cos a\)
- \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)
- \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1\)
- \(\lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\)
Déterminer les limites suivantes :
- \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{\tan 3x}\)
- \(\lim_{x \to 0} \frac{2\cos^2 x + \cos x – 3}{1 – \cos^2 x}\)
- \(\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1 – \tan x}{\cos x – \sin x}\)
X) COMPLÉMENT SUR LA CONTINUITÉ
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle ouvert de centre \(a\). On dit que \(f\) est continue en \(a\) si elle admet une limite finie en \(a\) égale à \(f(a)\).
- Toute fonction polynôme est continue en tout point de \(\mathbb{R}\).
- Toute fonction rationnelle est continue en tout point de son domaine de définition.
- Les fonctions \(\sin\) et \(\cos\) sont continues sur \(\mathbb{R}\).