I) DÉRIVATION EN UN POINT
1) Activités
Déterminer la limite quand \(x\) tend vers \(a\) de \(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) dans les cas suivants :
- \(f(x)=3x^2-x+2\) et \(a=-2\)
- \(f(x)=\frac{2x^2+1}{x-1}\) et \(a=2\)
- \(f(x)=\sin 3x\) et \(a=\frac{\pi}{6}\)
- \(f(x)=|2x^2+x-3|\) et \(a=1\)
2) Définition
Soit \(f\) une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert de centre \(a\).
On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) si la limite suivante existe et est finie :
Dans ce cas on appellera cette limite le nombre dérivé de la fonction \(f\) en \(a\) et se note \(f'(a)\).
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=\begin{cases}3x^2+x, & x < 0 \\ -2x^2+3x, & x \ge 0\end{cases}\)
- Montrer que \(f\) est dérivable en -2.
- \(f\) est-elle dérivable en 0 ?
Si \(f\) est dérivable en \(a\) et on pose : \(h=x-a\), si \(x\) tend vers \(a\) alors \(h\) tend vers 0 et on obtient :
Calculer le nombre dérivé de \(f(x)=x^3+x\) en \(a=1\) en utilisant la deuxième formulation de la dérivation.
2) Dérivé à droite dérivé à gauche
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=\begin{cases}3x^2+x, & x < 0 \\ -2x^2+3x, & x \ge 0\end{cases}\)
Montrer que :
\(\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=3\) et que \(\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=1\).
On peut conclure donc que \(f\) n’est pas dérivable en 0.
Posons : \(g(x)=-2x^2+3x\), on a \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=3\) et puisque \(g=f\) sur \([0, +\infty[\), on peut dire que \(f\) est dérivable à droite de 0 et le nombre 3 s’appelle le nombre dérivé de la fonction \(f\) à droite de 0 et se note \(f’_d(0)\).
Posons : \(h(x)=3x^2+x\), on a \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{h(x)-h(0)}{x-0}=1\) et puisque \(h=f\) sur \(]-\infty, 0]\), on peut dire que \(f\) est dérivable à gauche de 0 et le nombre 1 s’appelle le nombre dérivé de la fonction \(f\) à gauche de 0 et se note \(f’_g(0)\).
- Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle de la forme \([a, a+r[\) où \(r > 0\). On dit que \(f\) est dérivable à droite de \(a\) si la limite \(\lim_{x\rightarrow a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) existe et est finie. Ce nombre est noté \(f’_d(a)\).
- Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle de la forme \(]a-r, a]\) où \(r > 0\). On dit que \(f\) est dérivable à gauche de \(a\) si la limite \(\lim_{x\rightarrow a^-}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) existe et est finie. Ce nombre est noté \(f’_g(a)\).
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=|x^2-2x-3|+2x\)
- Écrire une expression de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) sans valeur absolue.
- Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite et à gauche de -1.
- \(f\) est-elle dérivable en -1 ?
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle ouvert de centre \(a\).
\(f\) est dérivable en \(a\) si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche de \(a\) et \(f’_d(a)=f’_g(a)\).
II) INTERPRÉTATIONS GÉOMÉTRIQUES
1) Rappels
Exercice 1 : Soit la droite (D) : \(x+3y-1=0\)
- Déterminer le coefficient directeur de la droite (D).
- Écrire l’équation réduite de la droite (D).
Exercice 2 : Déterminer l’équation réduite de la droite qui passe par \(A(-1,3)\) et de coefficient directeur -2.
Exercice 3 : Déterminer l’équation réduite de la droite (Δ) tracée ci-contre.
2) La fonction affine tangente à une fonction
Soit \(f\) une fonction dérivable en \(a\) et \(f'(a)\) son nombre dérivé en \(a\).
Posons : \(\varphi(x)=\begin{cases}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a), & x \neq a \\ 0, & x=a\end{cases}\)
On a : \((x-a)\varphi(x) = -f'(a)(x-a) + f(x) – f(a)\) et par suite :
\(f(x) = f'(a)(x-a) + f(a) + (x-a)\varphi(x)\)
Posons : \(u(x) = f'(a)(x-a) + f(a)\). On aura : \(f(x) = u(x) + (x-a)\varphi(x)\).
La fonction \(u\) est une fonction affine et s’appelle la fonction affine tangente en \(a\).
Soit \(f\) une fonction dérivable en \(a\). \(f\) admet une fonction affine tangente en \(a\) de la forme :
Déterminer une fonction affine tangente en -3 de la fonction \(f(x)=\frac{2x}{1+x^2}\).
Toute fonction dérivable en \(a\) est continue en \(a\).
Preuve : Puisque \(f\) est dérivable en \(a\) alors : \(f(x) = f'(a)(x-a) + f(a) + (x-a)\varphi(x)\). En passant à la limite \(\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)\) donc \(f\) est continue en \(a\).
Remarque : La réciproque n’est pas vraie : \(f(x)=|x|\) est continue en 0 mais pas dérivable en 0.
- La fonction affine tangente en \(a\) d’une fonction dérivable en \(a\) est une approximation de \(f\) au voisinage de \(a\). On peut écrire : \(f(x) \approx f'(a)(x-a) + f(a)\).
- Si on pose \(x=a+h\), on aura : \(f(a+h) \approx f'(a)h + f(a)\). Cela permet d’estimer \(f(a+h)\) si \(h\) est petit.
Si on veut une approximation de \(\sin 3\), on peut prendre \(f(x)=\sin x\) et \(a=\pi\) (car \(\pi\) est l’élément le plus proche de 3 dont le sinus est connu) et \(h=3-\pi\).
On a alors \(f(a)=\sin \pi = 0\) et \(f'(a)=\cos \pi = -1\). Ce qui donne :
\(\sin 3 = \sin(\pi + h) \approx -1 \times (3-\pi) = \pi – 3\).
3) Interprétations géométriques
3.1 Tangente en un point
Soit \(f\) une fonction dérivable en \(a\), et \(A(a, f(a))\). Soit \(x\) un élément de \(D_f\) différent de \(a\) et \(M(x, f(x))\).
Le coefficient directeur de la droite (AM) est le réel \(m = \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\).
En faisant tendre \(x\) vers \(a\), on obtient à la position limite une droite (T) qui passe par \(A(a, f(a))\) et qui a pour coefficient directeur \(\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)\).
Donc : (T) : \(y = f'(a)x + p\). Puisque (T) passe par \(A(a, f(a))\) alors \(f(a) = f'(a)a + p\), donc \(p = f(a) – f'(a)a\).
Finalement, l’équation est : (T) : \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\).
Si \(f\) est dérivable en \(a\) alors sa courbe représentative \(C_f\) admet une tangente (T) en \(A(a, f(a))\) d’équation :
Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de la fonction \(f(x)=2x^3-x+1\) en \(A(1, f(1))\).
- La tangente (T) à la courbe \(C_f\) en \(A(a, f(a))\) est la droite représentant la fonction affine tangente à \(f\) en \(a\).
- Cas particulier : Si \(f\) est dérivable en \(a\) et \(f'(a)=0\), alors l’équation de la tangente est (T) : \(y = f(a)\). C’est une droite parallèle à l’axe (Ox).
- Le vecteur directeur de la tangente est \(\vec{u}(1, f'(a))\).
3.2 Demi-tangente
- Si \(f\) est une fonction dérivable à droite de \(a\), alors son graphe admet une demi-tangente à droite \((T_d)\) d’équation : \(\begin{cases} y = f’_d(a)(x-a) + f(a) \\ x \ge a \end{cases}\)
- Si \(f\) est une fonction dérivable à gauche de \(a\), alors son graphe admet une demi-tangente à gauche \((T_g)\) d’équation : \(\begin{cases} y = f’_g(a)(x-a) + f(a) \\ x \le a \end{cases}\)
\(f(x)=|-2x^2+x+1|\). On a : \(f\) est dérivable à droite de 1 et \(f’_d(1)=3\) ; et est dérivable à gauche de 1 et \(f’_g(1)=-3\).
La courbe représentative de \(f\) admet deux demi-tangentes en \(A(1, f(1))\) :
\((T_d) : \begin{cases} y = 3(x-1) \\ x \ge 1 \end{cases}\) et \((T_g) : \begin{cases} y = -3(x-1) \\ x \le 1 \end{cases}\)
On dit que la courbe présente un point anguleux en \(A(1, f(1))\).
Exercices :
- Soit la parabole d’équation \(y=x^2\). Soit A un point quelconque sur la parabole et (T) la tangente en A. Soient M et N les intersections respectives de (T) avec l’axe (Ox) et l’axe (Oy). Montrer que M est le milieu de [AN].
- Soit l’hyperbole d’équation \(y=\frac{1}{x}\). Soit A un point quelconque sur l’hyperbole et (T) la tangente en A. Soient M et N les intersections respectives de (T) avec l’axe (Ox) et l’axe (Oy). Montrer que A est le milieu de [MN].
III) FONCTION DÉRIVÉE D’UNE FONCTION
1) Introduction
Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=2x^2+x\). Déterminons le nombre dérivé de \(f\) en un réel \(x\) quelconque :
\(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2(x+h)^2+(x+h)-2x^2-x}{h}\)
\(= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2x^2+4xh+2h^2+x+h-2x^2-x}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{h(4x+2h+1)}{h} = 4x+1\).
On remarque que \(f\) est dérivable en tout point \(x\) de \(\mathbb{R}\). La fonction qui associe à \(x\) son nombre dérivé \(f'(x)\) s’appelle la fonction dérivée de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) et se note \(f’\).
Activités :
- Déterminer la fonction dérivée de la fonction \(\sin\) sur \(\mathbb{R}\).
- Déterminer la fonction dérivée de la fonction \(x \mapsto \frac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^{*+}\) et sur \(\mathbb{R}^{*-}\).
2) Dérivabilité sur un intervalle
- On dit que \(f\) est dérivable sur l’ouvert \(]a, b[\) si elle est dérivable en tout point de \(]a, b[\).
- On dit que \(f\) est dérivable sur le semi-ouvert \([a, b[\) si elle est dérivable sur \(]a, b[\) et dérivable à droite de \(a\).
- On dit que \(f\) est dérivable sur le fermé \([a, b]\) si elle est dérivable sur \(]a, b[\) et dérivable à droite de \(a\) et à gauche de \(b\).
Une fonction qui est dérivable sur \([a, b]\) et dérivable sur \([b, c]\) n’est pas nécessairement dérivable sur \([a, c]\) sauf si \(f’_d(b)=f’_g(b)\).
3) Fonction dérivée d’une fonction
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle ouvert \(I\). La fonction qui associe à tout élément \(x\) son nombre dérivé \(f'(x)\) s’appelle la fonction dérivée de la fonction \(f\) sur \(I\).
3.1 Fonctions dérivées de quelques fonctions usuelles
Exercices : Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
- \(x \mapsto C\) sur \(\mathbb{R}\)
- \(x \mapsto x^2\) sur \(\mathbb{R}\)
- \(x \mapsto \sqrt{x}\) sur \(\mathbb{R}^{*+}\)
- \(x \mapsto \frac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^{*+}\) et sur \(\mathbb{R}^{*-}\)
- \(x \mapsto \sin x\) sur \(\mathbb{R}\)
- \(x \mapsto \cos x\) sur \(\mathbb{R}\)
| La fonction \(f\) | Sa fonction dérivée \(f’\) | Intervalles de dérivation |
|---|---|---|
| \(C\) | \(0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x\) | \(1\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^2\) | \(2x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(\mathbb{R}^{*+}\) |
| \(\frac{1}{x}\) | \(\frac{-1}{x^2}\) | \(\mathbb{R}^{*+}\) et \(\mathbb{R}^{*-}\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\tan x\) | \(1 + \tan^2 x\) | \(]-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi[\), \(k \in \mathbb{Z}\) |
IV) OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS DÉRIVÉES
À partir de deux fonctions \(f\) et \(g\), on peut définir :
- Somme : \((f+g)(x) = f(x) + g(x)\)
- Produit : \((f \times g)(x) = f(x) \times g(x)\)
- Inverse : \((\frac{1}{f})(x) = \frac{1}{f(x)}\) (si \(f(x) \neq 0\))
- Quotient : \((\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\) (si \(g(x) \neq 0\))
- Racine : \((\sqrt{f})(x) = \sqrt{f(x)}\) (si \(f(x) \ge 0\))
1) La somme
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions dérivables en \(a\). On montre que :
\(\lim_{x\rightarrow a}\frac{(f+g)(x)-(f+g)(a)}{x-a} = \dots = f'(a) + g'(a)\).
Si \(f\) et \(g\) sont dérivables sur un intervalle ouvert \(I\), alors la fonction \((f+g)\) est dérivable sur \(I\) et :
2) Le produit
Si \(f\) et \(g\) sont dérivables sur un intervalle ouvert \(I\), alors la fonction \((f \times g)\) est dérivable sur \(I\) et :
3) Puissance
En utilisant la propriété précédente et par récurrence, on prouve que :
Exemple : Déterminer la fonction dérivée de \(f(x)=(2x^3-x^2)^4\).
4) L’inverse
Si \(f\) est dérivable sur un intervalle ouvert \(I\) et \(f\) ne s’annule pas sur \(I\), alors \((\frac{1}{f})\) est dérivable sur \(I\) et :
5) Quotient
Si \(f\) et \(g\) sont dérivables sur un intervalle ouvert \(I\) et \(g\) ne s’annule pas sur \(I\), alors \((\frac{f}{g})\) est dérivable sur \(I\) et :
Application : Montrer que la fonction \(\tan\) est dérivable sur les intervalles \(I_k = ]-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi[\) (\(k \in \mathbb{Z}\)) et que \(\tan’ x = 1 + \tan^2 x\).
6) La racine
Si \(f\) est dérivable sur un intervalle ouvert \(I\) et strictement positif sur \(I\), alors \(\sqrt{f}\) est dérivable sur \(I\) et :
Soit \(f(x)=\sqrt{-2x^2+x+1}\). Étudier le domaine de dérivation de \(f\) et déterminer sa fonction dérivée.
Tableau des opérations sur les fonctions dérivées
| La fonction | Sa fonction dérivée |
|---|---|
| \(f + g\) | \(f’ + g’\) |
| \(f \cdot g\) | \(f’ \cdot g + g’ \cdot f\) |
| \(\frac{1}{g}\) | \(\frac{-g’}{g^2}\) |
| \(\frac{f}{g}\) | \(\frac{f’ \cdot g – g’ \cdot f}{g^2}\) |
| \(\sqrt{f}\) | \(\frac{f’}{2\sqrt{f}}\) |
| \(f(ax + b)\) | \(a f'(ax + b)\) |
Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
- \(f_1(x)=3x^4-5x^2+1\)
- \(f_2(x)=(3x^2+1)^3 \cdot (5x+1)\)
- \(f_3(x)=\frac{3x^3+x}{5x^2+1}\)
- \(f_4(x)=\frac{\sqrt{2x^2+1}}{1+x^2}\)
- \(f_5(x)=\frac{\sin(2x)}{1+\cos 3x}\)
Pour calculer la dérivée de \(|f|\), on procède comme suit :
- Exprimer \(|f|\) sans le symbole de la valeur absolue sur des intervalles de \(D_f\).
- Calculer la dérivée des fonctions obtenues sur ces intervalles.
Exercice : Déterminer la dérivée de la fonction \(f(x)=|3x^2+x-4|\).
- Toute fonction polynôme est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
- Toute fonction rationnelle est dérivable sur tout intervalle inclus dans son domaine de définition.