Cours Complet : Vecteurs de l’Espace (1Bac SM)

Sommaire du cours

I) Prolongement de la notion de vecteur du plan à l’espace
II) Calculs vectoriels dans l’espace
III) Colinéarité et Droites de l’espace
IV) Vecteurs coplanaires et Plans de l’espace
V) Parallélisme dans l’espace
VI) Exercice de synthèse (Le Cube)

I) PROLONGEMENT DE LA NOTION DE VECTEUR DU PLAN À L’ESPACE

1) La notion de vecteur dans l’espace \((\mathcal{E})\)

Dans le plan, un vecteur \(\vec{AB}\) est défini par :

Direction de \(\vec{AB}\) : c’est la droite \((AB)\).
Sens de \(\vec{AB}\) : c’est le sens de \(A\) vers \(B\).
La norme de \(\vec{AB}\) (ou la longueur de \(\vec{AB}\)) est la distance \(AB\). On note : \(AB = ||\vec{AB}||\).

Cette notion sera prolongée à l’espace \((\mathcal{E})\) et ainsi toutes les propriétés des vecteurs dans le plan sont valables dans chaque plan de l’espace \((\mathcal{E})\).

Exemples :

\(I\) est le milieu de \([AB]\) est équivaut à \(\vec{AB} = 2\vec{AI}\).
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points non alignés de l’espace \((\mathcal{E})\), donc \(A, B\) et \(C\) déterminent un plan et un seul noté \((ABC)\).
Dans le plan \((ABC)\), on considère le triangle non aplati \(EFG\) ; \(I\) et \(J\) sont respectivement les milieux de \([EF]\) et \([EG]\) donc on peut déduire que \(\vec{IJ} = \frac{1}{2}\vec{FG}\) et aussi les droites \((IJ) \parallel (FG)\).

Remarques :

Le cas \(A = B\), le vecteur \(\vec{AA} = \vec{0}\) (le vecteur nul) n’a pas de direction et de sens et sa norme est nulle.
On dit que deux vecteurs sont égaux s’ils ont des directions parallèles, le même sens et la même norme.
Un quadrilatère \(ABCD\) dans l’espace \((\mathcal{E})\) est un parallélogramme si et seulement si \(\vec{AB} = \vec{DC}\).

II) CALCULS VECTORIELS DANS L’ESPACE

Remarque :

La somme de deux vecteurs et le produit d’un vecteur par un réel sont définis de la même manière que dans la géométrie plane et on a les mêmes propriétés.

Par exemple :

\(-\vec{AB} = \vec{BA}\)
Relation de Chasles : \(\forall A, B, C \in (\mathcal{E}) : \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\).
L’opposé du vecteur \(\vec{u}\) est le vecteur qui a même direction et même norme mais un sens opposé au sens de \(\vec{u}\) et on note \(-\vec{u}\).
Le vecteur \(\vec{v} = k\vec{u}\) :
- \(\vec{v} = k\vec{u}\) a la même direction que \(\vec{u}\).
- \(\vec{v} = k\vec{u}\) a le même sens que \(\vec{u}\) si \(k > 0\).
- \(\vec{v} = k\vec{u}\) a le sens opposé à \(\vec{u}\) si \(k < 0\).
- La norme vérifie \(||k\vec{u}|| = |k| \times ||\vec{u}||\).
Pour tout vecteur \(\vec{u}\) on pose \(0 \cdot \vec{u} = \vec{0}\).
Pour tout \(k \in \mathbb{R}\) on a \(k \cdot \vec{0} = \vec{0}\).

Propriétés :

Pour tous vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) de l’espace \((\mathcal{E})\) et pour tous réels \(k\) et \(k’\) on a :

\((k + k’) \cdot \vec{u} = k\vec{u} + k’\vec{u}\)
\(k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}\)
\(k(k’ \cdot \vec{u}) = (k \times k’) \cdot \vec{u}\)
\(1 \cdot \vec{u} = \vec{u}\)
\(k \cdot \vec{u} = \vec{0} \iff (k = 0 \text{ ou } \vec{u} = \vec{0})\)

III) COLINÉARITÉ DE DEUX VECTEURS ET DROITES DE L’ESPACE

1) Colinéarité de deux vecteurs – Colinéarité de trois points

Définition :

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si et seulement s’il existe un \(\alpha\) de \(\mathbb{R}\) tel que \(\vec{u} = \alpha\vec{v}\) ou \(\vec{v} = \alpha\vec{u}\) (c’est-à-dire l’un des deux vecteurs s’écrit en fonction de l’autre).

Remarques :

Le vecteur nul est colinéaire avec tous les vecteurs de l’espace.
\(\vec{u} = \vec{AB}\) et \(\vec{v} = \vec{CD}\) sont colinéaires si et seulement si \((AB) \parallel (CD)\).
Trois points \(A, B, C\) de l’espace sont alignés si et seulement si \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires.

2) Définition vectorielle d’une droite dans l’espace \((\mathcal{E})\)

Définition et propriété :

Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts de l’espace \((\mathcal{E})\).

Tout vecteur non nul \(\vec{u}\) de l’espace \((\mathcal{E})\) colinéaire avec le vecteur \(\vec{AB}\) est appelé vecteur directeur de la droite \((AB)\).
L’ensemble des points \(M\) de l’espace \((\mathcal{E})\) qui vérifient \(\vec{AM} = \alpha\vec{u}\) tel que \(\alpha \in \mathbb{R}\) est la droite \((D)\) qui passe par le point \(A\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\). On note \(D(A, \vec{u})\).

\(D(A, \vec{u}) = \{M \in (\mathcal{E}) \mid \vec{AM} = \alpha\vec{u} ; \alpha \in \mathbb{R}\}\)

IV) VECTEURS COPLANAIRES ET PLANS DE L’ESPACE

1) Vecteurs coplanaires

Définition et théorème :

Quatre points \(A, B, C\) et \(D\) de l’espace \((\mathcal{E})\) sont coplanaires si et seulement si les quatre points appartiennent au même plan.
Trois vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}\) et \(\vec{w}\) de l’espace \((\mathcal{E})\) sont coplanaires si et seulement s’il existe quatre points \(A, B, C\) et \(D\) coplanaires tels que : \(\vec{u} = \vec{AB}, \vec{v} = \vec{AC}\) et \(\vec{w} = \vec{AD}\).

Exemple (ABCDEFGH est un parallélépipède) :

On considère les vecteurs : \(\vec{u} = \vec{AB}, \vec{v} = \vec{DG}\) et \(\vec{w} = \vec{DH}\).
On a : \(\vec{u} = \vec{AB} = \vec{DC}\). Les points \(D, C, G\) et \(H\) sont coplanaires, donc les vecteurs \(\vec{DC}, \vec{DG}\) et \(\vec{DH}\) sont coplanaires. Par suite, \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) sont coplanaires.
Les vecteurs \(\vec{u} = \vec{AB}, \vec{v} = \vec{AD}\) et \(\vec{w} = \vec{AE}\) sont non coplanaires.

Remarques :

Si parmi trois vecteurs, deux vecteurs sont colinéaires, alors les trois vecteurs sont coplanaires.
Si trois vecteurs sont constitués par cinq points, on ne peut pas confirmer que les cinq points sont coplanaires.
Exemple : \(\vec{u}=\vec{AB}, \vec{v}=\vec{AD}, \vec{w}=\vec{EF}\) sont coplanaires si \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) sont colinéaires, mais \(A, B, D, E, F\) ne sont pas forcément coplanaires.

2) Détermination vectorielle d’un plan dans l’espace

Définition et théorème :

Tout plan de l’espace \((\mathcal{E})\) est déterminé par un point donné \(A\) de l’espace et deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) non colinéaires.

Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont appelés vecteurs directeurs du plan.
L’ensemble des points \(M\) de l’espace \((\mathcal{E})\) qui vérifient \(\vec{AM} = x\vec{u} + y\vec{v}\) où \(x, y \in \mathbb{R}\) est le plan \((P)\) qui passe par \(A\) et est dirigé par \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). On note \(P(A, \vec{u}, \vec{v})\).

\(P(A, \vec{u}, \vec{v}) = \{M \in (\mathcal{E}) \mid \vec{AM} = x\vec{u} + y\vec{v} ; x, y \in \mathbb{R}\}\)

Propriété des vecteurs coplanaires :

Trois vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont coplanaires si et seulement si l’un des trois s’écrit en fonction des deux autres :

\(\exists x, y \in \mathbb{R} \mid \vec{w} = x\vec{u} + y\vec{v}\)

Note : Le vecteur nul est coplanaire avec deux autres vecteurs quelconques.

Exercice d’application :

On considère les points \(A, B, C, D\) et \(E\) tels que : \(2\vec{EA} + 4\vec{EB} – 5\vec{EC} – \vec{ED} = \vec{0}\).

Montrer que les points \(A, B, C\) et \(D\) sont coplanaires.

Correction :

En utilisant la relation de Chasles avec le point \(A\) :

\(2\vec{EA} + 4(\vec{EA} + \vec{AB}) – 5(\vec{EA} + \vec{AC}) – (\vec{EA} + \vec{AD}) = \vec{0}\)

\((2 + 4 – 5 – 1)\vec{EA} + 4\vec{AB} – 5\vec{AC} – \vec{AD} = \vec{0}\)

\(0\vec{EA} + 4\vec{AB} – 5\vec{AC} – \vec{AD} = \vec{0} \implies \vec{AD} = 4\vec{AB} – 5\vec{AC}\)

Le vecteur \(\vec{AD}\) s’écrit comme combinaison linéaire de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\), donc les vecteurs sont coplanaires, et par suite les points \(A, B, C, D\) aussi.

V) PARALLÉLISME DANS L’ESPACE

1) Parallélisme des droites

Soient \(D(A, \vec{u})\) et \(\Delta(B, \vec{v})\) deux droites de l’espace.

\(\Delta \parallel D \iff \vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires} \iff \vec{v} = \alpha\vec{u} \ (\alpha \neq 0)\)

2) Parallélisme d’une droite et d’un plan

Soient \(D(A, \vec{u})\) une droite et \(P(B, \vec{v}, \vec{w})\) un plan.

La droite \(D\) est parallèle au plan \(P\) si et seulement si les vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont coplanaires :

\(D \parallel P \iff \exists x, y \in \mathbb{R} \mid \vec{u} = x\vec{v} + y\vec{w}\)

3) Parallélisme de deux plans

Soient \(P(A, \vec{u}, \vec{v})\) et \(Q(B, \vec{u’}, \vec{v’})\) deux plans.

\(P \parallel Q\) si et seulement si les vecteurs directeurs de l’un sont coplanaires avec ceux de l’autre (plus simplement : si deux droites sécantes de \(P\) sont parallèles à deux droites sécantes de \(Q\)).

VI) EXERCICE DE SYNTHÈSE : LE CUBE

Énoncé :

On considère un cube \(ABCDEFGH\). Soit \(I\) le milieu de \([AH]\) et \(J\) un point de \([FI]\) tel que \(\vec{FJ} = \frac{2}{3}\vec{FI}\).

Montrer que \(\vec{EC} = -\vec{AE} + \vec{AB} + \vec{AD}\).
Montrer que \(\vec{EJ} = \frac{1}{3}\vec{EC}\).
Que peut-on conclure pour les points \(E, J\) et \(C\) ?

Correction détaillée :

1) Relation de \(\vec{EC}\) :
\(\vec{EC} = \vec{EA} + \vec{AB} + \vec{BC}\).
Comme \(ABCDEFGH\) est un cube, \(\vec{BC} = \vec{AD}\) et \(\vec{EA} = -\vec{AE}\).
Donc : \(\vec{EC} = -\vec{AE} + \vec{AB} + \vec{AD}\).

2) Relation de \(\vec{EJ}\) :
\(\vec{EJ} = \vec{EF} + \vec{FJ} = \vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{FI}\)
\(\vec{EJ} = \vec{AB} + \frac{2}{3}(\vec{FE} + \vec{EA} + \vec{AI}) = \vec{AB} + \frac{2}{3}(-\vec{AB} – \vec{AE} + \frac{1}{2}\vec{AH})\)
\(\vec{EJ} = \vec{AB} – \frac{2}{3}\vec{AB} – \frac{2}{3}\vec{AE} + \frac{1}{3}(\vec{AE} + \vec{EH})\)
\(\vec{EJ} = \frac{1}{3}\vec{AB} – \frac{2}{3}\vec{AE} + \frac{1}{3}\vec{AE} + \frac{1}{3}\vec{AD}\)
\(\vec{EJ} = \frac{1}{3}\vec{AB} – \frac{1}{3}\vec{AE} + \frac{1}{3}\vec{AD} = \frac{1}{3}(-\vec{AE} + \vec{AB} + \vec{AD})\)
D’après la question 1, on a bien : \(\vec{EJ} = \frac{1}{3}\vec{EC}\).

3) Conclusion :
Puisque \(\vec{EJ}\) et \(\vec{EC}\) sont colinéaires, les points \(E, J\) et \(C\) sont alignés.